Función Par: Si una función f verifica que f(x)=f(-x), se dice que la función es par y  entonces su gráfica es simétrica respecto del eje OY.

La explicación es simple, ya que si un punto (a,b) pertenece a la gráfica entonces f(a)=f(-a)=b, es decir el punto (-a,b) también pertenece a la gráfica: los puntos (a,b) y (-a,b) están a la misma altura, b y a igual distancia, |a|, del eje OY.

Ejemplos: Cualquier función polinómica que sólo tenga términos de grado par es una función par, como f(x)=0.25x⁴-2x²; f(x)=x²-1. También son pares las funciones f(x)=(x³-5x)/(x³-2x), f(x)=cos(x)

Función Impar: Si una función verifica que f(-x)=-f(x), se dice que es función impar y entonces su gráfica es simétrica respecto del origen de coordenadas O(0,0).

La explicación es simple, ya que si un punto (a,b) pertenece a la gráfica, entonces b=f(a) « -b=-f(a)=f(-a)

Los puntos P(a,b) y P'(-a,-b) pertenecen a la gráfica y evidentemente son simétricos respecto del origen O(0,0) puesto que dist(OP)=dis(OP'), pues

Ejemplos: Cualquier función polinómica con sólo términos de grado impar como f(x)=5x³-5x es función impar. También son impares f(x)=x³/(x²+1); f(x)=sen(x); f(x)=tg(x)

Demuéstrese si las siguientes funciones son simétricas o no lo son y en caso afirmativo decir que tipo de paridad  y que tipo de simetría tiene.

Las únicas funciones periódicas que se deben conocer hasta el momento, a parte de las que se construyen artificialmente son las trigonométricas:

Una función f(x) es periódica con periodo k, si verifica que f(x)=f(x+nk), k entero.

Ejemplo: f(x)=sen(x) es periódica y periodo k=2p, verificándose sen(x)=sen(x±2p)=sen(x±4p)=sen(x±6p)=...

f(x)=tg(x) es periódica y periodo k=p , verificándose tg(x)=tg(x±p)=tg(x±2p)=tg(x±3p)=tg(x±4p)=...

Conocer el periodo facilita la interpretación de la función pues basta con analizar la función en el intervalo [0,k] ya que a la izquierda y derecha del mismo se repite indefinidamente la misma forma.

• Si f(x) es periódica de periodo k, también será periódica la función compuesta f(mx+n) y su periodo es k/m.

Ejemplo:

El periodo de la función f(x)=sen(2x+3)  es 2p/2= p

• Si f(x) y g(x) son periódicas de periodos k y k' respectivamente, las funciones f(x)±g(x), f(x)g(x) y f(x)/g(x) también son periódicas y su periodo no supera al mcm(k,k')

Ejemplo:

El periodo de la función sen(2x)+sen(x) es 2p

1. Observar con Descartes la periodicidad de las siguientes funciones sen(x); tg(x); sen(2x); sen(2x+1); sen(2x+p); sen(2x+p/2); sen(0.5x) y explicar como influye los parámetros m y n respecto de la periodicidad de la función sen(x) y tg(x)

2.  Comparar la funciones  sen²(x) y sen³(x) con sen(x). ¿Cuál es el periodo de cada una?

3. ¿Cómo se ve afectado el periodo de sen(x) al multiplicarla por un factor constante, p.e 2sen(x)?

4. ¿Cuál es el periodo de sen(2x)+sen(x); sen(3x)-sen(x); sen(2x)+2*cos²(x)

5.  Verificar si son periódicas sen(x)+x ; cos(x)+x; sen(x)/cos(x)