Dominio, continuidad y derivabilidad

	Dominio, continuidad y derivabilidad
	*Análisis*

1. DOMINIO

Lo primero que hay que estudiar en una función es su dominio, o conjunto de valores x para los cuales f(x) existe o está definida: D_f= {xÎR: $ y=f(x)}

Hay funciones que se crean artificialmente dando por definición el dominio (funciones definidas a trozos) o bien se tratan de funciones que modelizan una situación real que no tiene sentido para ciertos valores de x aunque matemáticamente se pueda calcular.

Las funciones polinómicas están definidas en todo R.

Las funciones racionales (cociente de polinomios), no están definidas en los valores que anulan el denominador.

Función	Dominio
Polinómica: f(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1 +...+a₁x+a₀	R
Exponenciales: f(x)=a^x, a>0, a<>1	R
Funciones del tipo: f(x)^g(x), f(x)>0	Para todo x tal que f(x) y g(x) están definidas a la vez
Logarítmicas: f(x)=ln(x); f(x)=log_a(x)	x > 0
Racionales: f(x)=p(x)/q(x); donde p(x) y q(x) son polinomios	todo x tal que q(x)<>0
Cociente de funciones no polinómicas: f(x)=g(x)/h(x)	Para todo x donde g(x) y h(x) estén definidas a la vez excepto donde se anula h(x)
Irracionales: f(x)=x^m/n; n impar	R
Irracionales: f(x)=x^m/n; n par	Para x>=0
Irracionales: f(x)=g(x)^m/n; n impar	Para x donde g(x) esté definida
Irracionales: f(x)=g(x)^m/n; n par	Para x donde g(x) esté definida y g(x)>=0
Trigonométricas: f(x)=sen(x); f(x)=cos(x)	R
Trigonométricas: f(x)=tg(x)	R excepto para x=p/2+kp, kÎZ
Ciclométricas: f(x)=arc tg(x)	R
Ciclométricas: f(x)=arc sen(x); f(x)= arc cos(x)	[-1,1]

Ejemplo:

y=(3x²-5x-6)/(x²-x-2) no está definida ni para x=-1 ni para x=2. Es decir D_f=R - {-1,2}

Las funciones irracionales (con radicales) y= g(x)^m/nestán definidas en todo R si el índice n es impar y sólo para los valores de x que hacen el radicando mayor o igual que cero si el índice n es par.

Ejemplo:

El dominio de y=x^3/2 es D={xÎR: x>=0}.

El dominio de y=(x²-x-2)^1/2 es D=R-(-1,2); no está definida para x²-x-2<0 es decir en el intervalo abierto de extremos -1 y 2.

La función logarítmica y= log_ax está definidas para x>0. En general y=log_a g(x) esta definida para los x tales que g(x)>0.

Ejemplo:

y=ln (x²-4) no está definida en x tal que x²-4<0, es decir en abs(x)<2 que representa el intervalo (-2,2); por tanto el dominio es D=R-(-2,2)

Las funciones y=sen(x), y=cos(x) e y=a^x están definidas para todo x.

La función trigonométrica y=tg(x) no está definida para x=p/2+kp, kÎZ

La función definida como:

y=e^x-1 para x>=0 tiene un dominio artificial y por alguna conveniencia o por ser modelo de algún fenómeno real no tiene interés considerar x<0.

La función siguiente está definida a trozos:

el dominio es R pero este está dividido en dos intervalos; estando cada intervalo regido por una expresión distinta

2. CONTINUIDAD

Las funciones conocidas (salvo las definidas artificialmente) son continuas donde están definidas.

3. DERIVABILIDAD

También son derivables en el dominio de definición las funciones habituales. Aparecen puntos angulosos cuando se utiliza la función valor absoluto y en algunos radicales en el punto donde el radicando es cero.

Observar con Descartes

En el siguiente programa el/la estudiante podrá observar el dominio de definición, de continuidad y derivabilidad de las funciones que se proponen y otras de las que pueda estar interesado/a.

Para ello bastará poner la entrada función a 0 y sobrescribir en la entrada editable y=f(x), la expresión f(x), ¡¡ manteniendo y= !!

El programa es un mero auxiliar para comprobación, puesto que el dominio, D_f, tiene que ser obtenido por método analítico, del cual se da la solución.

Ejemplo:

y=abs(x-1), está definida y es continua en R pero no es derivable en x=1 (punto anguloso)

Ejemplo:

y=x^2/3 está definida y es continua en R pero presenta un punto anguloso en x=0.

Funciones permitidas por Descartes

Las funciones que no se escriben como habitualmente hacemos sobre el papel son:

Raíz cuadrada: sqrt(x)

Logaritmo neperiano: log(x)

No confundir esta notación con la del logaritmo en base 10.

Logaritmo en base a, (log_ax): log(x)/log(a)

Tangente trigonométrica tg(x): tan(x)

Arco tangente, arc tg(x): atan(x)

	Función f(x)	*() Debe escribirse para Descartes así:**	Solución
1		(x^2-x-1)/(x^2-4)
2		(x-3)/sqrt(x-2)
3		cos(1/x)
4		exp(x)/sqrt(log(x))
5		sqrt(x^2-x-2)
6		x*exp(1/x)/(x+4)
7		sqrt(x^3-x)
8		x/log(x)
9		log(4-sqrt(25-x^2))

Ejercicios:

Calcular el dominio D_f, los puntos de continuidad y derivabilidad de las siguientes funciones.

(*) puede evitarse escribir la expresión Descartes para el programa, copiándola con Ctrl+C de la tabla y pegándola con Ctrl+V sobre f(x) seleccionada en la entrada del programa.

	Ángel Cabezudo Bueno

	Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2001

SOLUCIONES

	Función	Dominio
1		D_f= R - {-2,2}
2		Df= {x/ x>2}=(2,+¥)
3		D_f= R - {0}
4		Df= {x/ x>1}=(1,+¥)
5		Df= R -(-1,2)=(-¥,-1]U[2,+¥)
6		D_f= R - {-4,0}
7		D_f=[-1,0]U[1,+¥)
8		Df= R⁺= {x/ x>0}=(0,+¥)
9		D_f=[-5,-3)U(3,5]

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