el lenguaje de las funciones
3. FUNCIONES
Las funciones se interpretan y estudian cómodamente mediante sus gráficas y, recíprocamente, las propiedades de una curva se pueden obtener a partir del estudio de sus ecuación, que es la traducción analítica de la definición de geométrica.

El objeto de la geometría analítica, es precisamente esta aplicación del análisis a la geometría, y sus dos problemas fundamentales son: dada la ecuación y = f(x), trazar la gráfica correspondiente, y dada una línea L, encontrar su ecuación y = f(x).

La correspondencia cartesiana "punto" « "par de números" se prolonga en el plano con la correspondencia "líneas" « "ecuación".

Una función puede venir dada por su tabla, por su gráfica o por su ecuación o expresión analítica.

3.1. definición de FUNCIóN
Sea "f" una ley de correspondencia en virtud de la cual a cada número real "x" de un cierto conjunto le corresponde otro número real "y". Se dice entonces que "f" es una función y se escribe:

                   f: x ® y o más usualmente y = f(x)

Una función es la relación entre dos conjuntos de números (naturales, enteros, racionales), que llamaremos X e Y, de manera que a cada valor del primero, le corresponde un único valor del segundo.

 

A un número cualquiera del conjunto inicial "X" lo simbolizamos por "x", y decimos que es la variable independiente. A su valor correspondiente del conjunto final "Y" lo simbolizamos por "y", y decimos que es la variable dependiente.

Si el paso de x a y se realiza mediante cálculos, la función puede venir determinada por la experiencia y la función se llama empírica.

 

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3.2. interpretación de FUNCIONES
Una función puede venir dada por su tabla, por su gráfica o por su ecuación o expresión analítica.
3.2.1. FUNCIÓN DADA POR SU TABLA
Cuando un función, matemática o empírica, es de mucha utilidad, se disponen sus valores en tablas. La tabla de la función nos indica algunos valores del conjunto inicia "X" y sus correspondiente valores del conjunto final "Y".

Así nos son familiares las tablas de raíces cuadradas, las de logaritmos, las trigonométricas, etc. Del mismo modo, los físicos manejan tablas que indica, por ejemplo, la tensión de vapor de agua a diversas temperaturas, o la densidad de una solución según su concentración, etc. Así, una función viene como "descrita" por su tabla.

1. Elabora una tabla que indique la relación existente entre el peso de las naranjas y su precio, suponiendo que un kilo de naranjas vale 0.85 €.

X = kilos 1/2 1 2 3 4 5 10
Y = € 0.425 0.85          
3.2.2. FUNCIÓN DADA POR SU GRÁFICA
Para ello, siendo la función y=f(x), y tomando en el plano unos ejes de coordenadas cartesianas, si sobre el eje X se lleva como abscisas de la variable independiente x; y sobre el eje Y se toma como ordenadas los valores de la función. 
  En el punto de abscisa x0 se lleva una ordenada de valor y0 igual al valor correspondiente de la función, que será:

y0 = f(x0)

De este modo queda determinado el punto P de coordenadas (x0,y0). Y mientras la abscisa x va tomando todos los valores que le son posibles, el punto correspondiente a P irá describiendo una línea L, que es la representación gráfica de la función y = f(x).

El método más inmediato para dibujar una gráfica, es determinar varios puntos de ella y unirlos luego mediante un trazo continuo.

2. Representa gráficamente la función anterior que relaciona el número de kilos de naranjas y el precio pagado por ellas (X es la cantidad de kilos e Y es el precio en €). 

Nota. Es importante indicar siempre la magnitud que representa cada eje y sus unidades.
3.2.3. FUNCIÓN DADA POR SU EXPRESIÓN ANALÍTICA O ECUACIÓN
En matemáticas lo más frecuente es expresar una función por una expresión algebraica, y = f(x), que se llama expresión analítica de la función, y que indica la relación que existe entre una cantidad x del conjunto inicial y su correspondiente cantidad y del conjunto final.

3. Indica la expresión de la función que relaciona los kilos de naranjas y lo que se paga, sabiendo que 1 kg. cuesta 0.85 €. Compruébalo con la escena anterior.

4. Representa gráficamente los puntos de la función dada por la siguiente tabla y únelos:

X -2 -1 0 1 2
Y -4 -2 0 2 4

¿Cuál es su expresión analítica?.

5. En cada kilo de manzanas entran aproximadamente 6 manzanas. Haz una tabla de valores que indiquen el número de manzanas en función del peso. Representa gráficamente los puntos de la tabla. ¿Podrías decir cuál es la ecuación de la función?.
Francisco Lajas González
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2003