vectores 
1. vectores
Mediante vectores se pueden estudiar las nociones métricas más corriente. longitud de vectores, distancia entre puntos, ángulos, perpendiculares, etc.
2.1. COMPONENTES DE UN VECTOR

Sea v  = AE un vector cualquiera y u un segmento unidad, definimos vector como un segmento orientado, siendo sus componentes:

 

- Origen o punto de aplicación A.

- Extremo E.

- Módulo o longitud del vector |AE|.

- Dirección o recta soporte r.

- Sentido que es el señalado por la flecha.

1. Desplaza el punto A o E, observa como varían los vectores proyección AE´ y E´E. Aplica el Teorema de Pitágoras a estos vectores y comprueba que el módulo de AE coincide con el valor que aparece en la escena.
2.2. base ortonormal

Base de un espacio vectorial es la familia de vectores libres en función de los cuales se pueden expresar todos los demás como combinación lineal de ellos.

En el plano o espacio vectorial de dos dimensiones, la base está constituida por dos vectores cualquiera no paralelos.

  • Si los vectores no son ni perpendiculares ni iguales, es una base cualquiera.

  • Si los vectores base son perpendiculares pero desiguales, es una base ortogonal.

  • Si los vectores base son unitarios (normalizados) pero no perpendiculares, la base es normal o normalizada

Una base es ortonormal cuando los vectores que la componen son unitarios y perpendiculares.

En el espacio de dos dimensiones, los vectores base se representan por: i, j  Þ B = {i,j}

Puesto que : 

i  =  1 * i + 0 * j

        j  =  0 * i + 1 * j     

Los coeficientes de la combinación lineal o coordenadas de los vectores base son:

                                                para i: Þ   i = (1,0)            para j: Þ   j = (0,1)

  Se llaman coordenadas o componentes o medidas algebraicas de un vector v respecto de una base ortonormal (i, j) a los números x e y que son los coeficientes de la combinación lineal:

v = 0P = x * i + y * j

Observando la escena, a cada punto P del plano se le asocia un vector posición 0P que tiene unas coordenadas.

Cuando se conoce el módulo del vector v = 0P y el ángulo a que este vector forma con el eje 0X, las coordenadas de P son:

x =|0P| * cos a

y = |0P|* sen a

1. Comprueba con varios ejemplos la última afirmación.

2. Si el vector 0P tiene de módulo 6 y forma con el eje 0X un ángulo de 30o, ¿cuáles son las coordenadas del punto P?.

2.3. PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES
Se llama producto escalar de dos vectores al número real que se obtiene al multiplicar los módulos de los vectores por el coseno del ángulo que forman.
Si los vectores son v y w, su producto escalar es: 

 u . v = |u| . |v| . cos (u,v)
 

De la definición de producto escalar, podemos deducir el ángulo que forman dos vectores, mediante la expresión: 

Y mediante sus coordenadas:

3. Calcula el ángulo que firman los vectores u (3,4) y v (5,12). 
2.4. aplicaciones con vectores

2.4.1. distancia de un punto al origen

Sea el sistema de referencia ortonormal (O, i, j) y un punto P (x1, y1) del plano. El origen O del sistema de referencia y el punto determinan el vector OP de componentes (x1, y1):

La distancia del punto P al origen es el módulo del vector OP:
El vector OP tiene de coordenadas (4,3) respecto de la base B(i,j) 

El punto P tiene de coordenadas (4,3) respecto del sistema de referencia R .

 

4. Halla la distancia de los puntos (6,8), (6,-8), (-6,8) y (-6,-8) al origen. Analiza los resultados. Como se llaman estos puntos respecto a los ejes de coordenadas.

5. ¿Que puntos cumplen la distancia calculada anteriormente?. Como se llama la figura que cumplen esta distancia constante al origen.
2.4.2.  distancia entre dos puntos
Sean los puntos P (x1,y1) y Q (x2,y2), la distancia estos dos puntos es igual al módulo del vector PQ que determinan:

por consiguiente , la distancia PQ es:
La distancia entre dos puntos es igual a la raíz cuadrada de la diferencia de abcisas al cuadrado más la diferencia de ordenadas al cuadrado.

6. Compruébalo moviendo los puntos P y Q en la escena.

7. Halla la distancia entre los puntos P(5,3) y Q(7,-1).

8. Dale a las coordenadas de los puntos P y Q los distintos valores que se muestran a continuación. Anótalos, calcula las coordenadas del vector PQ en cada caso y después compruébalo en la escena : 

P=(4,8) 
Q=(6,4)		   PQ=?  P=(8,0) 
Q=(-5,0)		   PQ=? 
P=(5,-6) 
Q=(7,2)		   PQ=?  P=(6,4) 
O=(6,4)		   PQ=? 
2.4.3.  propiedades de la distancia
La distancia entre dos puntos, definida anteriormente, tiene las siguientes propiedades:

I. La distancia de un punto a si mismo es nula.

II. La distancia entre dos puntos tiene la propiedad conmutativa.

III. Para tres puntos distintos: P, Q, R de coordenadas:

 

se verifica que:

   Cuando en un plano definimos el concepto de distancia, con las tres propiedades I, II, III decimos que hemos fijado una métrica en dicho plano, por lo que se llama plano métrico.

9. Comprueba las propiedades de la distancia.

Francisco Lajas González
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2003