OPERACIONES CON COMPLEJOS EN FORMA POLAR
Álgebra
 
21.- MULTIPLICACIÓN
Sólo tienes que mirar esta escena para deducir cómo se multiplican complejos en forma polar
Se multiplican los módulos ra . r'b = (r.r') a+b
Se suman los argumentos
Si los vectores se salen de la escena puedes usar el zoom o mover en sentido horizontal o vertical con los controles de la parte superior.

EJERCICIO 21

Efectúa las siguientes multiplicaciones de complejos en forma polar en tu cuaderno y compruébalo en la escena:

a) 1150º · 530º

b) 315º · 275º

c) z1=460º por su conjugado

d) z2=3150º por su opuesto
22. POTENCIA

Como ya sabes, la potencia es un producto de factores iguales, por tanto la regla es la misma que la de multiplicar.

Puedes verlo en esta escena, donde r es el módulo del número complejo z, A, su argumento y n el exponente al que elevamos z.

Recuerda que si los vectores se salen de la escena puedes usar el zoom o mover en sentido horizontal o vertical con los controles de la parte superior. Aunque en el caso de la potencia puede ocurrir que el módulo resultante sea tan grande que no puedas llegar a verlo por completo, pero aparecerá su valor en la escena.
El módulo se eleva a n (ra )n = rn na
El argumento se multiplica por n
En el inicio, pulsa el botón de n, para darle los valores 1, 2, 3,...e irás viendo las distintas potencias del números complejo 
z=(1,1)30º esto es, para hallar z1, z2, z3,...

EJERCICIO 22

Efectúa las siguientes potencias de complejos en forma polar en tu cuaderno y compruébalo en la escena:

Al cambiar el módulo y el argumento respecto a los iniciales, puedes dar al botón limpiar para eliminar los valores iniciales.
a) (1.560º)4 b) (390º)2
c) (2120º)3 d) (145º)7
23. DIVISIÓN
Sólo tienes que mirar esta escena para deducir cómo se dividen complejos en forma polar
Se dividen los módulos
Se restan los argumentos

EJERCICIO 23

Efectúa las siguientes divisiones de complejos en forma polar en tu cuaderno y compruébalo en la escena::

a) 5150º : 230º 

b) 6225º : 375º 

c) z1=4340º dividido por su conjugado

d) z1=350º dividido por su opuesto
24. FÓRMULA DE MOIVRE
Aplicando la propiedad de la potencia de un número complejo, se obtiene la siguiente fórmula llamada fórmula de Moivre:

(cos + i sen )n = cos(n) + i sen(n)

que es útil en trigonometría, pues permite hallar cos(n) y sen(n) en función de sen y cos

EJERCICIO 24: En tu cuaderno

a) Demuestra la fórmula de Moivre tomando un número complejo de módulo 1 y argumento a

b) Deduce la fórmula del sen 2a y del cos 2a en función del sen a y del cos a utilizando la fórmula de Moivre.

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  Juan Madrigal Muga y Ángela Núñez Castaín
 
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2003
 
 

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