RADICACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS
Álgebra
 
25.- RADICACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS
Ya sabes que la operación de radicación es la inversa que la de potenciación.
 
En esta escena se nos presenta el vector de un número complejo z, y una potencia del mismo, zn.

Veamos que existen varios complejos z, que al elevarlos a la potencia n, nos da el mismo complejo zn.
EJEMPLO 1

Para comprobarlo sigue las siguientes instrucciones en la escena:

En el inicio de esta escena tenemos que

(230º)3=890º
1.- Cambia el valor del argumento de z a A=150º y pulsa la tecla ENTER.

Puedes ver que (2150º)3=8450º=890º+360º=890º
2.- Cambia de nuevo el valor del argumento de z, a A=270º y pulsa la tecla ENTER.

Puedes ver que (2270º)3=8810º=890+2·360º=890º
3.- En resumen tenemos que en los tres casos z3 es el mismo:

(230º)3=(2150º)3=(2270º)3=890º
Observa que si unimos los tres afijos (extremos de los vectores) forman un triángulo equilátero.
¿Qué quiere decir todo esto?

Pues que si hacemos la raíz cúbica de 890º, nos dará tres soluciones: 230º, 2150º y 2270º

Hemos hecho lo contrario que cuando se eleva un complejo al cubo, hemos hecho la raíz cúbica del módulo, y hemos dividido el argumento por 3.

EJEMPLO 2

1.- En la escena pulsa el botón inicio

2.- Introduce r=1, A=60º, n=4 pulsando ENTER cada vez

3.- Pulsa el botón limpiar. Puedes cambiar el zoom y arrastar con el ratón el origen de coordenadas.
4.- Ahora tenemos que (160º)4 = 1240º
5.- Introduce A=150º, ENTER
6.- Ahora tenemos que
(1150º)4=1600º=1240º+360º=1240º
7.- Introduce A=240º, ENTER
8.- Ahora tenemos que
(1240º)4=1960º=1240º+2·360º=1240º
9.- Introduce A=330º, ENTER
10.- Ahora tenemos que z4 es el mimo
(1330º)4=11320=1240º+3·360º=1240º
11.- Por tanto:
De estos dos ejemplos deducimos que la raíz cúbica tiene tres soluciones, y la raíz cuarta, cuatro.
26. RAÍZ CUADRADA
Vamos a hallar , lee detenidamente el proceso:

1.- Primero pasamos z=4+3i a forma polar:

z=4+3i=536.9º

2.- La raíz cuadrada de z, tendrá de módulo la raíz cuadrada del módulo de z y de argumento, el de z dividido por 2.

3.- Las dos soluciones de esta raíz cuadrada son:

Si k=0 --> z1=18.4º

Si k=1 --> z2=198.4º
Todas estas operaciones que hemos hecho las puedes ver en la escena. Con k=0 verás la primera solución y con k=1 la segunda, y verás también como quedan los vectores, tanto de z como de z1 y z2

Si le seguimos dando valores a k=2, 3, 4, ... veremos que las soluciones que salen coinciden con las ya mencionadas, después de haber dado 1, 2, 3, ... vueltas a la circunferencia.

EJERCICIO 26 

Calcula en tu cuaderno las dos raíces cuadradas de cada uno de los siguientes complejos, pasándolos previamente a la forma polar:

a) z=1-i b) z=-9 c) z=4i d) z=-2+2i

Después comprueba tus resultados en la escena. 

Después de introducir los valores de a y b, debes darle al botón LIMPIAR. Pero cuando cambias de k=0 a k=1 no es necesario, así verás las dos soluciones a la vez.

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  Juan Madrigal Muga y Ángela Núñez Castaín
 
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2003
 
 

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