MOVIMIENTOS EN EL PLANO
Traslaciones
En el dibujo, la figura de la izquierda (figura 1) se transforma en la figura de la derecha (figura 2). Se han señalado algunos puntos en la figura 1 (A, B, C) y los correspondientes en la figura 2 (A', B', C'), transformada de la 1.
Como puedes observar, los vectores que unen cada punto de la figura 1 con sus transformados de la figura 2 (AA', BB', CC') tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido. Además, la figura 2 tiene la misma forma y el mismo tamaño que la figura 1. A este movimiento se le llama traslación de vector v, siendo v el vector libre definido por cualquiera de los vectores anteriores.
En la escena siguiente está representado el vector v = VW que define una traslación en el plano. Observa las coordenadas del punto A (1,2) y las de su trasladado, A' (4,4). Comprueba como cambian las coordenadas de A' al desplazar el punto A. (El botón inicio devuelve la figura a su posición inicial).
1.- Encuentra las coordenadas de los puntos transformados, en la traslación definida por el vector v anterior, de los puntos de coordenadas (- 5, - 4), (- 3, - 1), (- 4, - 2). (Utiliza los parámetros x e y para dibujar estos puntos en la posición del punto B). ¿Cuáles serían las coordenadas del transformado del punto P (x, y)?.
2.- Si cambiamos la posición de los puntos V y W, obtenemos un nuevo vector v. Sitúa el punto V en las coordenadas (- 6, 1) y el W en (- 2, 3). Calcula de nuevo las coordenadas de los puntos transformados de (- 5, - 4), (- 3, - 1), (- 4, - 2). ¿Cuáles serían ahora las coordenadas del transformado del punto P (x, y)?.
3.- Si V (x1, y1) y W (x2, y2), ¿cuáles serían las coordenadas del transformado del punto P (x, y)?.
Traslación de segmentos
Para trasladar un segmento, debemos calcular los transformados de los extremos del segmento y unirlos.
4.- La longitud de los segmentos AB y CD es de 4 unidades, ¿cuál es la longitud de los segmentos transformados A'B' y C'D'? ¿Son paralelos los segmentos AB y A'B'? ¿Y los segmentos CD y C'D'?. Desplaza los puntos A y B hasta obtener un segmento de longitud 6,5, ¿cuál es ahora la longitud del segmento transformado? ¿Son paralelos los dos segmentos AB y A'B'?.
5.- Repite las operaciones anteriores para una traslación de vector v (4, 2). (Utiliza los parámetros v1 y v2 para cambiar el vector v)
6.- En
los enunciados siguientes, elige la respuesta adecuada:
El transformado de un segmento en una traslación es otro segmento
de: a) la misma longitud, b) mayor longitud que el inicial, c) de longitud menor que el
inicial.
Un segmento y su trasladado son a) paralelos, b) coincidentes, c) se
cortan.
Traslación de rectas
Para trasladar una recta es suficiente calcular los transformados de dos puntos de la recta. Al unirlos se obtiene la recta transformada.
7.- Comprueba que al desplazar el punto A sobre la recta r (utiliza el parámetro abscisa), el punto A' transformado del A se desplaza sobre la recta r'. Comprueba que se sigue manteniendo lo anterior al cambiar la inclinación de la recta r (el parámetro pendiente permite cambiar la inclinación de la recta r).
8.- ¿Qué ocurre cuando la inclinación da lugar a una recta paralela al vector traslación v? ¿Cuál es, en este caso, el punto A'?.
9.- Los elementos que no varían al aplicarles una traslación se
denominan invariantes o dobles en esa traslación. En
los enunciados siguientes, elige la respuesta adecuada:
La transformada de una recta en una traslación es otra recta:
a) paralela, b) coincidente, c) secante.
Los elementos dobles en una traslación son: a) las rectas que
pasan por el origen, b) Los segmentos paralelos al eje de abscisas, c) las rectas
paralelas al vector traslación.
Traslación de ángulos
Para trasladar un ángulo hay que trasladar los dos lados que lo forman. El vértice vendrá determinado por la intersección de los dos lados.
10.- ¿Qué relación existe entre el ángulo (la medida está en la parte superior izquierda, en color verde) que forman las rectas iniciales, las de color rojo, y el que forman las rectas de color blanco, trasladadas de las anteriores según el vector VW (puedes usar el parámetro AB para cambiar la posición del ángulo y m para cambiar la amplitud del ángulo).
11.- ¿Qué ocurre al cambiar el vector traslación (utiliza los parámetros v1 y v2 para cambiar las componentes horizontal y vertical del vector traslación)?
12.- Hasta ahora hemos visto que la traslación transforma una recta en otra paralela y que conserva las distancias y los ángulos.
En los enunciados
siguientes, elige la respuesta adecuada, en el caso de las traslaciones:
La figura transformada de un cuadrado es un cuadrado: a) del
mismo lado, b) de lado mitad, c) de lado doble.
La figura transformada de un rectángulo es: a) un cuadrado, b)
un rombo, c) un rectángulo pero con lados de longitud distinta del original, d) un
rectángulo con las mismas medidas de los lados.
Autor: Belarmino Corte Ramos