MOVIMIENTOS EN EL PLANO

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Giros

En el dibujo, la figura superior (figura 1) se transforma en la figura inferior (figura 2). Se han señalado algunos puntos en la figura superior, figura 1, (A, B, C, D) y los correspondientes en la figura inferior, figura 2, (A', B', C', D'), transformada de la figura 1, mediante un giro.

Si te fijas puedes observar que los puntos A', B', C' y D' se obtienen a partir de los A, B, C y D mediante un arco, de centro el punto donde se cortan las dos rectas y con la misma amplitud (el ángulo a que forman las dos rectas). Además, la figura 2 tiene la misma forma y el mismo tamaño que la figura 1. A este movimiento se le llama giro de centro O, ángulo a y sentido positivo (contrario a las agujas de un reloj).

En la escena siguiente están representados varios puntos y los transformados mediante un giro de centro el origen de coordenadas O (0, 0) y sentido positivo. Comprueba cómo cambian las posiciones de los puntos transformados al variar el ángulo de giro (parámetro ángulo).

1.- ¿Cuál sería el transformado, en el giro anterior, del centro de giro C (0,0)? ¿Y la figura transformada en este giro de una circunferencia de centro el origen de coordenadas?.

2.- Si el ángulo de giro es de 360º, ¿cuáles serían las posiciones de los puntos A', B', C' y D', transformados mediante el giro de A, B, C y D?.

3.- Y, si el ángulo de giro es de 180º, ¿existe alguna relación conocida entre los pares de puntos A, A'; B, B'; C, C'; D, D'?.

   Giro de segmentos

Para obtener el transformado de un segmento es suficiente calcular los transformados de los extremos y unirlos.

En la escena siguiente se representa el segmento AB y el segmento transformado A'B' mediante un giro de centro el origen de coordenadas O (0, 0) y ángulo 30º en sentido positivo. Puedes cambiar el ángulo de giro (parámetro ángulo) y las coordenadas del extremo B (parámetros abscisa y ordenada).

4.- Después de un giro de 90º, el segmento transformado A'B' es, con respecto al AB: a) Paralelo, b) Perpendicular, c) Coincidente.
    Después de un giro de 180º, el segmento transformado A'B' es, con respecto al AB: a) Paralelo, b) Perpendicular, c) Coincidente.
    Después de un giro de 270º, el segmento transformado A'B' es, con respecto al AB: a) Paralelo, b) Perpendicular, c) Coincidente.

5.- La longitud del segmento transformado A'B' es: a) Mayor que la del segmento original AB, b) Menor que la del segmento original AB, c) Igual que la del segmento original AB (puedes utilizar los parámetros abscisa y ordenada para construir segmentos horizontales y verticales que te pueden ayudar en esta cuestión).

6.- ¿Qué ocurre si el extremo B se hace coincidir con el centro de giro C ? ¿Qué curva origina el desplazamiento del extremo B, mediante un giro de ángulo 360º? ¿Y el desplazamiento del punto A?
    ¿Cuál sería la figura transformada, mediante un giro de centro O (0,0) y ángulo a, de una circunferencia de centro el punto O?.

   Giro de rectas

Para obtener la recta transformada mediante un giro de centro O y ángulo a, hay que aplicar el giro a cada uno de los puntos de la recta r. En la práctica, puesto que una recta queda determinada por dos de sus puntos, es suficiente aplicar la transformación a dos puntos de la recta y unirlos. De esta forma se obtiene la recta transformada.

En la escena siguiente se representa la recta r y la recta transformada r' mediante un giro de centro el origen de coordenadas O (0, 0) y ángulo 60º en sentido positivo. Puedes cambiar el ángulo de giro (parámetro ángulo), las coordenadas del punto B (parámetro ordenada) y la inclinación de la recta r (parámetro m).

7.- Comprueba que al desplazar el punto B (utiliza el parámetro ordenada), la recta r cambia de posición. Cambia la inclinación de la recta r (parámetro m). Observa los cambios en la recta transformada por el giro.

8.- Después de un giro de 90º, la recta transformada r' es, con respecto a la recta r: a) Paralela, b) Perpendicular, c) Coincidente.
    Después de un giro de 180º, la recta transformada r' es, con respecto a la recta r: a) Paralela, b) Perpendicular, c) Coincidente.
    Después de un giro de 270º, la recta transformada r' es, con respecto a la recta r: a) Paralela, b) Perpendicular, c) Coincidente.

9.- ¿Qué ocurre cuando el punto B coincide con el centro de giro? ¿Se siguen manteniendo las respuestas dadas en el apartado 8?.

10.- Ajusta la inclinación a 0. ¿Cuál es ahora la recta r? ¿Qué ocurre al girar la recta 90º, 180º y 270º?.
    Con m = 0, haz coincidir el punto B con el centro de giro, ¿Cuál es ahora la recta r? ¿Qué ocurre al girar la recta 90º, 180º y 270º?

   Giro de ángulos

Para hallar el ángulo girado de uno dado, hay que aplicar el giro a cada uno de los lados. El vértice será el punto de intersección de los dos lados.

En la escena siguiente se representa un ángulo a y el ángulo transformado a' mediante un giro de centro el origen de coordenadas O (0, 0) y ángulo 45º en sentido positivo. Puedes cambiar el ángulo de giro (parámetro ángº_de_giro), la posición del punto B (parámetro ordenada) y la amplitud del ángulo a (parámetro m).

11.- Después de un giro de 90º, los lados del ángulo transformado a', son, con respecto a los lados del ángulo a: a) Paralelos, b) Perpendiculares, c) Coincidentes.
    Después de un giro de 180º, los lados del ángulo transformado a', son, con respecto a los lados del ángulo a: a) Paralelos, b) Perpendiculares, c) Coincidentes.
    Después de un giro de 270º, los lados del ángulo transformado a', son, con respecto a los lados del ángulo a: a) Paralelos, b) Perpendiculares, c) Coincidentes.

12.- ¿Qué ocurre si el vértice del ángulo, B, coincide con el centro de giro? ¿Se siguen manteniendo las respuestas dadas en el apartado 11?.

13.- Los elementos que no varían al aplicarles un giro se denominan invariantes o dobles en el giro.

En los enunciados siguientes, elige la respuesta adecuada:
    La transformada de una recta en un giro es otra recta: a) paralela, b) coincidente, c) secante.
    Los elementos dobles en un giro son: a) las rectas que pasan por el origen, b) Los segmentos paralelos al eje de abscisas, c) el centro de giro.

14.- Hasta ahora hemos visto que los giros conservan las distancias y los ángulos.

En los enunciados siguientes, elige la respuesta adecuada:
    La figura girada de un cuadrado es un cuadrado: a) del mismo lado, b) de lado mitad, c) de lado doble.
    La figura girada de un rectángulo, es: a) un cuadrado, b) un rombo, c) un rectángulo pero con lados de longitud distinta del original, d) un rectángulo con las mismas medidas de los lados.

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Autor: Belarmino Corte Ramos