ALGUNAS EQUIVALENCIAS DEL ÁLGEBRA DE BOOLE

Lógica Digital-2

1. POSTULADOS MÁS SIGNIFICATIVOS DEL ÁLGEBRA DE BOOLE

   Las operaciones lógicas Y (AND) o producto lógico , así como la suma lógica O (OR), satisfacen las mismas propiedades que ya conocéis para la suma y producto de números reales, es decir: asociatividad, conmutatividad, existencia de elemento neutro, existencia de elemento simétrico o traspuesto y distributividad del producto respecto de la suma y de la suma respecto al producto. En la primera escena que acompaña a este apartado se muestran las expresiones de dichas propiedades (las letras mayúsculas que aparecen representan variables binarias y el 1 y 0 corresponden, respectivamente, a los valores lógicos verdadero y falso).

1.- Dibuja, en tu cuaderno de trabajo, una tabla que recoja las primeras propiedades del álgebra de Boole.

2.- Construye, en tu cuaderno, las tablas de verdad correspondientes a cada miembro de las expresiones del ejercicio anterior. ¿Qué observas?.

3.- Para cada postulado mostrado en la segunda escena, anotad su expresión y construid las tablas de verdad que corresponden a cada miembro de la igualdad. ¿Qué observas?.

4.- En la primera escena aparecen dos expresiones para la propiedad distributiva. ¿Qué diferencia encuentras respecto a la misma propiedad aplicada a la suma y producto numéricos habituales?.

5.- Elige dos propiedades y dos postulados cualesquiera. Representa cada miembro de las igualdades correspondientes mediante un circuito en base a puertas simples.

NOTA: Los guiones sobre el nombre de una variable indica su complementaria o negación.

2. LEYES DE ABSORCIÓN Y TEOREMAS DE DE_MORGAN

  A continuación veremos algunos teoremas del álgebra booleana. Existen una gran cantidad de ellos pero los que aquí podéis ver resultan de una gran utilidad al trabajar con funciones booleanas, principalmente a la hora de simplificar circuitos o bien de desear implementarlos con un tipo de puertas determinado. Recordemos lo dicho en el apartado anterior sobre la dualidad de las expresiones booleanas: si se cumple un teorema, su forma dual también será un teorema válido.

7.- Para cada expresión mostrada en la escena precedente (Ley de absorción), construye su tabla de verdad en tu cuaderno de trabajo. ¿Qué observas?.

8.- Repite la actividad anterior para los teoremas de De Morgan. Escribe las expresiones de los teoremas de De Morgan para el caso de tres variables.

9.- Las actividades 7 y 8, así como las del primer apartado, nos muestran que los teoremas del álgebra de Boole son demostrables a partir de tablas de verdad. Para ello  se consideran todas las combinaciones posibles de valores de verdad, para dichas variables, y se ve que las columnas correspondientes a los dos miembros de la igualdad son idénticas. Este método se llama de inducción completa. Úsalo para demostrar la validez de la siguiente igualdad:  A·B + A·C = A·(B+C) , expresión que corresponde a otra de las leyes del Álgebra de Boole. ¿Qué relación existe entre esta última ley y las propiedades distributivas vistas en el primer apartado?

10.- Enuncia, en tu cuaderno de trabajo, los teoremas y leyes vistos en este apartado.

3. OTRAS LEYES O TEOREMAS DEL ÁLGEBRA DE BOOLE

  Como complemento veamos algunos postulados más. Concretamente veremos las leyes de transposición y varias leyes muy útiles para la simplificación algebraica de ecuaciones booleanas.

10.- Para las leyes mostradas en las dos últimas escenas construye las correspondientes tablas de verdad y comprueba su validez.

11.- Dibuja los circuitos lógicos, en base a puertas simples, para los dos miembros de la primera ley de transposición. Comprueba que ambos devuelven las mismas salidas al dar los mismos valores a las variables de entrada.

12.- En tu cuaderno de trabajo construye una tabla-resumen de los postulados y leyes tratadas en esta página.

13.- Escribe las formas duales de las leyes de transposición.

14.- Intenta explicar como se pasaría de un circuito lógico de una expresión booleana a su correspondiente forma dual. Para ejemplarizarlo construye el circuito correspondiente a la expresión (A+B)·(C+D), luego escribe su forma dual y dibuja el circuito correspondiente. Compara ambos circuitos.

Josep Mª Navarro Canut

Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2003