ALGUNAS EQUIVALENCIAS DEL ÁLGEBRA DE BOOLE

Lógica Digital-2

 


1. POSTULADOS MÁS SIGNIFICATIVOS DEL ÁLGEBRA DE BOOLE

   Las operaciones lógicas Y (AND) o producto lógico , así como la suma lógica O (OR), satisfacen las mismas propiedades que ya conocéis para la suma y producto de números reales, es decir: asociatividad, conmutatividad, existencia de elemento neutro, existencia de elemento simétrico o traspuesto y distributividad del producto respecto de la suma y de la suma respecto al producto. En la primera escena que acompaña a este apartado se muestran las expresiones de dichas propiedades (las letras mayúsculas que aparecen representan variables binarias y el 1 y 0 corresponden, respectivamente, a los valores lógicos verdadero y falso).

 

   A partir de las propiedades anteriores se pueden deducir una serie de postulados, muy importantes a la hora de poder simplificar funciones booleanas. Aunque no se demuestre existe un principio básico, llamado Principio de Dualidad, que afirma que siempre que se cumpla una ley o teorema en el álgebra de Boole, también es válido en su forma dual. La forma dual de una expresión booleana dada es la que se consigue al cambiar las sumas por productos y los productos por sumas, respectivamente. Por ejemplo: A+B·C y A·(B+C) son expresiones duales.

 

1.- Dibuja, en tu cuaderno de trabajo, una tabla que recoja las primeras propiedades del álgebra de Boole.

 

2.- Construye, en tu cuaderno, las tablas de verdad correspondientes a cada miembro de las expresiones del ejercicio anterior. ¿Qué observas?.

3.- Para cada postulado mostrado en la segunda escena, anotad su expresión y construid las tablas de verdad que corresponden a cada miembro de la igualdad. ¿Qué observas?.

4.- En la primera escena aparecen dos expresiones para la propiedad distributiva. ¿Qué diferencia encuentras respecto a la misma propiedad aplicada a la suma y producto numéricos habituales?.

5.- Elige dos propiedades y dos postulados cualesquiera. Representa cada miembro de las igualdades correspondientes mediante un circuito en base a puertas simples.

NOTA: Los guiones sobre el nombre de una variable indica su complementaria o negación.


2. LEYES DE ABSORCIÓN Y TEOREMAS DE DE_MORGAN

  A continuación veremos algunos teoremas del álgebra booleana. Existen una gran cantidad de ellos pero los que aquí podéis ver resultan de una gran utilidad al trabajar con funciones booleanas, principalmente a la hora de simplificar circuitos o bien de desear implementarlos con un tipo de puertas determinado. Recordemos lo dicho en el apartado anterior sobre la dualidad de las expresiones booleanas: si se cumple un teorema, su forma dual también será un teorema válido.

 

7.- Para cada expresión mostrada en la escena precedente (Ley de absorción), construye su tabla de verdad en tu cuaderno de trabajo. ¿Qué observas?.

 

8.- Repite la actividad anterior para los teoremas de De Morgan. Escribe las expresiones de los teoremas de De Morgan para el caso de tres variables.

 

9.- Las actividades 7 y 8, así como las del primer apartado, nos muestran que los teoremas del álgebra de Boole son demostrables a partir de tablas de verdad. Para ello  se consideran todas las combinaciones posibles de valores de verdad, para dichas variables, y se ve que las columnas correspondientes a los dos miembros de la igualdad son idénticas. Este método se llama de inducción completa. Úsalo para demostrar la validez de la siguiente igualdad:  A·B + A·C = A·(B+C) , expresión que corresponde a otra de las leyes del Álgebra de Boole. ¿Qué relación existe entre esta última ley y las propiedades distributivas vistas en el primer apartado?

 

10.- Enuncia, en tu cuaderno de trabajo, los teoremas y leyes vistos en este apartado.


3. OTRAS LEYES O TEOREMAS DEL ÁLGEBRA DE BOOLE

  Como complemento veamos algunos postulados más. Concretamente veremos las leyes de transposición y varias leyes muy útiles para la simplificación algebraica de ecuaciones booleanas.

10.- Para las leyes mostradas en las dos últimas escenas construye las correspondientes tablas de verdad y comprueba su validez.

11.- Dibuja los circuitos lógicos, en base a puertas simples, para los dos miembros de la primera ley de transposición. Comprueba que ambos devuelven las mismas salidas al dar los mismos valores a las variables de entrada.

12.- En tu cuaderno de trabajo construye una tabla-resumen de los postulados y leyes tratadas en esta página.

13.- Escribe las formas duales de las leyes de transposición.

14.- Intenta explicar como se pasaría de un circuito lógico de una expresión booleana a su correspondiente forma dual. Para ejemplarizarlo construye el circuito correspondiente a la expresión (A+B)·(C+D), luego escribe su forma dual y dibuja el circuito correspondiente. Compara ambos circuitos.


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Josep Mª Navarro Canut

 

Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2003

 

 

 

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