1.-Haz en tu cuaderno una tabla de valores ayudándote de la escena, de la forma siguiente:

1.1.- Partiendo del inicio de la escena, pulsa el botón superior 0.y hasta que la posición de los ejes sea 0.y=60 

1.2.- Ve dando a la flechita roja inferior de los valores de la abscisa x de P, y ve anotando en la tabla los valores de y del punto P para x=3.5, 3.4, 3.2, 3.1. 

1.3.- Estarás viendo como los valores de x del punto P se van acercando a 3 por la derecha, a medida que, en la gráfica, dicho punto va apareciendo cada vez más cerca de x=3.

1.4.- Después de dar a x el valor 3.1, no pulses más la flechita, pues pasarías a 3. Si no sustituye en el lugar donde aparece el valor de x, en la parte inferior de la escena, el 3.1 por 3.01, pulsa ENTER y anota el valor de y correspondiente en tu tabla. El punto P ha desaparecido de la escena porque cae muy arriba, pero no tienes problema en anotar el valor de y, que aparece de color amarillo en la esquina superior izquierda.

1.5.- Repite la operación del apartado anterior pero ahora introduce x=3.001. De esta forma nos hemos acercado a 3 por la derecha de 3

1.6.- Ahora lo haremos por la izquierda. Pulsa el botón INICIO, y cambia la posición de los ejes a 0.y = -80
y cambia el valor de x a 2.5 tal como hicimos anteriormente, pulsa el botón LIMPIAR, y ve anotando el valor de y correspondiente.

1.7- De nuevo con la flechita de x, ve dando los valores x=2.6, 2.7, 2.8, 2.9; estarás viendo como los valores de x del punto P se van acercando a 3 por la izquierda, a medida que, en la gráfica, dicho punto va apareciendo cada vez más cerca de x=3.Introduce ahora los valores de x=2.99 y x=2.999 y  anota los valores de y en tu tabla.

Después de haber observado la gráfica, las trayectorias del punto P para valores de x mayores que 3, y los valores de y de tu tabla, podrás deducir que mientras más nos acercamos a x=3 por la derecha, los valores de y se hacen tan grande como queramos. Esto se expresa con símbolos así:

SIMBÓLICAMENTE	SE LEE
	límite cuando x tiende a 3 por la derecha de  es infinito

Para valores menores que 3, o sea acercándonos por la izquierda, los valores que toma la función, nos indican que tiende a - ¥

SIMBÓLICAMENTE	SE LEE
	límite cuando x tiende a 3 por la izquierda de  es menos infinito

La función no está definida en x=3 y tiene un salto cuando x®3. No es continua en x=3

Vamos a estudiar el comportamiento de la función  en las proximidades de

En el inicio de la escena es a=1. También tenemos un punto P de la función, cuya abscisa x podemos variar en los botones inferiores.

2.-Haz una tabla de valores en tu cuaderno dando a x los valores -1, -0.75, -0.5, -0.25, 0, 0.25, 0.5, 0.75 y observa en la escena los valores de la función y hacia donde se dirige el punto P. Deduce a qué tiende la función (valores de y) cuando x tiende a 1 por la izquierda (x<1).

3.-Observa que para valores mayores que a (a la derecha de a), la gráfica es parte de una parábola que comienza en el punto (a,(a-3)²).  En el inicio este punto es (1,4), que ahora sí pertenece a la función, pues en la definición de la misma indica x ³ a

4.-Haz una tabla de valores en tu cuaderno dando a x los valores 2 (limpiar), 1.75, 1.5, 1.25, 1  y observa en la escena los valores de la función y hacia donde se dirige el punto P. Deduce a qué tiende la función (valores de y) cuando x tiende a 1 por la derecha (x>1)

Después de haber hecho el ejercicio tienes que llegar a la siguiente conclusión suponiendo a=1: 

Por tanto al no coincidir el límite por la derecha y por la izquierda, no existe el límite de la función cuando x ® 1, o en general cuando x® a

Esta función no es continua en x=a porque no existe el límite .

5.-Comprueba en la escena anterior que ocurre lo mismo para otros valores de a.

1.-Observa que para valores de x menores que a (izquierda de a), la gráfica es una recta que llega hasta el punto (a,a).En el inicio este punto es (2,2), aunque este punto no pertenece a la función (hueco), ya que  para x=a, tendremos  .
2.-Partiendo del inicio (a=2), haz una tabla de valores en tu cuaderno dando a x los valores 1, 1.2, 1.4, 1.6, 1.8 y observa en la escena los valores de la función y hacia dónde se dirige el punto P. 
Deduce a qué tiende la función (valores de y) cuando x tiende a 2 por la izquierda (x<2)

3.- Observa que para valores mayores que a (a la derecha de a), la gráfica es una recta que comienza en el punto (a,a).

4.- Partiendo del inicio (a=2), haz una tabla de valores en tu cuaderno dando a x los valores 3 (limpiar), 2.8, 2.6, 2.4, 2.2 y observa en la escena los valores de la función y hacia donde se dirige el punto P.

Deduce a qué tiende la función (valores de y) cuando x tiende a 2 por la derecha (x>2).

Después de haber hecho el ejercicio tienes que llegar a la siguiente conclusión suponiendo a=2: 

Por la izquierda de 2		Como coinciden, existe el
Por la derecha de 2

Por tanto al coincidir el límite por la derecha y por la izquierda, existe el límite de la función cuando x ® 2, o en general cuando x® a

Esta función no es continua en x=a porque no está definida en x=a, ya que 
5.-Comprueba en la escena anterior que ocurre lo mismo para otros valores de a.

1.- Observa que para valores de x menores que a (izquierda de a), y también para valores de x mayores que a (derecha de a), la gráfica es una parábola que se interrumpe en x=a (hueco). 

El punto que falta tendría de coordenadas (a,a²), en el inicio de la escena (2,4), pero para x=a  f(a)=2, según nos dice la definición de la función. 
Esto es, en vez de ser f(a)=a², es f(a)=2. El punto (a,2) es de la función, en vez de (a,a²). Compruébalo dando el valor x=2 .

2.-Partiendo del inicio (a=2), haz una tabla de valores en tu cuaderno dando a x los valores 1, 1.25, 1.5, 1.75 y observa en la escena los valores de la función y hacia donde se dirige el punto P.
Deduce a qué tiende la función (valores de y) cuando x tiende a 2 por la izquierda (x<2).

3.-Partiendo de nuevo del inicio (a=2), haz una tabla de valores en tu cuaderno dando a x los valores 3 (limpiar), 2.75, 2.5, 2.25 y  observa en la escena los valores de la función y hacia dónde se dirige el punto P.

Deduce a qué tiende la función (valores de y) cuando x tiende a 2 por la derecha (x>2).

Después de haber hecho el ejercicio tienes que llegar a la siguiente conclusión, suponiendo a=2:

Por la izquierda de 2		Como coinciden, existe el
Por la derecha de 2

Por tanto al coincidir el límite por la derecha y por la izquierda, existe el límite de la función cuando x ® 2, y este límite es 4. En general existe el límite cuando x® a y es f(a).

La función está definida en x=2 pero f(2)=2, no coincide con el límite. En general la función está definida en x=a pero f(a) ¹.Por tanto la función no es continua en x=a

4.-Comprueba en la escena anterior que ocurre lo mismo para otros valores de a.

2.  Relación de la continuidad  en x=a con el límite cuando x ®a