Calculo_limites II

	Cálculo de límites ii
	Análisis

5.2. Límite en un punto en el que la función No es continua.

Distinguimos dos casos:

5.2.1.- FUNCIONES DEFINIDAS DE FORMA NATURAL

Con las funciones que conoces hasta ahora, los únicos límites en puntos donde no son continuas son los de cocientes de funciones en donde se anula el denominador.
Por ejemplo:

En las páginas siguientes estudiaremos los límites de cocientes de polinomios. Para los demás casos es muy útil la calculadora.
En la siguiente escena vamos a hallar el límite, simulando el uso de la calculadora, de la función , que no es continua en x=0, pues f(0)=0/0.

Damos a x valores próximos a cero.

Para ello tenemos en la escena un punto P, del cuál podemos introducir su abscisa x.

1.- Introduce en la escena, con las flechas, los valores de x cada vez más cerca de cero, y anota en tu cuaderno los valores correspondientes de la función:

x	*f(x)*
1
*0.9*
*0.8*
*0.7*
*0.6*
*0.5*
*0.4*
*0.3*
*0.2*
*0.1*

Con el teclado y pulsando ENTER, introduce los valores de x, aún más cerca de cero:

x	*f(x)*
*0.05*
*0.01*
*-0.01*

Ya puedes deducir cuál es el , anótalo en tu cuaderno.

Verás que si haces x=0 no aparece el valor de la función ni el punto P. La función no está definida en x=0 pero existe

5.2.2.- FUNCIONES construidas artificialmente empalmando dos o más trozos

En este caso para hallar el límite de la función en los puntos donde se han empalmado los trozos, se halla el límite por la derecha y por la izquierda en dichos puntos. Si ambos coinciden, ése será el límite y si no coinciden no existe el límite.

Ejemplo:

Halla el de la función
Damos a x valores por la izquierda de 2:
Introduce en la escena los valores de x, y anota en tu cuaderno los valores correspondientes de la función

x	*f(x)*
1
*1.2*
*1.4*
*1.6*
*1.8*

Ahora ya puedes saber el límite de f(x) cuando x ® 2^-

Analíticamente es:

Ahora damos a x valores por la derecha de 2:
Introduce en la escena los valores de x, y anota en tu cuaderno los valores correspondientes de la función

x	*f(x)*
3
*2.8*
*2.6*
*2.4*
*2.2*

Ahora ya puedes saber el límite de f(x) cuando x ® 2⁺

Analíticamente es:

Como no coincide el límite por la izquierda y por la derecha de 2, no existe

6. Cálculo del límite de un cociente de polinomios cuando x®a

Para hallar el (cociente de dos polinomios) procederemos del siguiente modo:

¿Se anula el denominador en a? ¿Q(a)=0?	NOÞ	Si Q(a)¹0

	SIÞ	¿Se anula también el numerador en a? ¿P(a)=0?	NOÞ	Si Q(a)=0 y P(a)¹0
				lim f(x) = ±¥ x®a para decidir si es + o -, se estudia el signo a la izquierda y a la derecha de a
			SIÞ	Si Q(a)=0 y P(a)=0
				y se vuelve al inicio del estudio

EJERCICIO 13

Con las indicaciones dadas y la ayuda de esta escena, calcula los siguientes límites:

c) En esta función se anula numerador y denominador para x=2, por tanto se puede dividir numerador y denominador entre (x-2). Al hacerlo se simplifica la fracción, quedando la misma función que en los apartados anteriores.

EJERCICIO 14

Con las indicaciones dadas y la ayuda de esta escena, calcula los siguientes límites:

	Ángela Núñez Castaín

	Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2001

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