LIMITES EN EL INFINITO
Análisis
 
7.- Comportamiento de una función cuando x®¥  o  x®-¥
Vamos a estudiar el comportamiento de tres funciones cuando x®¥ y cuando x®-¥.

Dando a x valores grandes positivos, podrás hallar el límite de f(x), g(x) y h(x) cuando x®¥. 

Dando a x valores grandes negativos, hallaremos el límite de f(x), g(x) y h(x) cuando x®-¥.
EJERCICIO 15

Cambiando el valor de x en la escena por valores cada vez mayores positivos o negativos y verás las coordenadas de los puntos P, de f(x), Q, de g(x) y R de h(x). Así hallarás los seis límites, tres cuando x®¥, y otros tres cuando x®-¥.

Anota en tu cuaderno los resultados y comprueba que se pueden dar tres casos en las tendencias de las funciones:

a) Que la función se puede hacer tan grande como queramos positiva.  
Tiende a ¥ 
b) Que la función se puede hacer tan grande como queramos en valor absoluto, pero negativa. 
Tiende a -¥
c) Que la función se aproxima a un número N tanto como queramos. 
Tiende a N

RESUMEN
Cuando x®¥  y cuando x®-¥ la función puede tener los siguientes límites: 

7.1.-  Límites (x®±¥) de funciones polinómicas
Aquí tenemos tres funciones polinómicas: f(x)=x2-3x+2, g(x)=-x2-3x-2 y h(x)=x3-x+1
Comprueba en esta escena que dando a x los valores 10, 20, 30..., o sea que si x®¥
f(x) toma valores cada vez más grandes positivos, o sea f(x)®¥
g(x) toma valores cada vez más grandes en valor absoluto, pero negativos, o sea g(x)®-¥
h(x) toma valores cada vez más grandes positivos, o sea h(x)®¥

En los tres casos, y en general el límite de la función polinómica es infinito, y el signo lo determina la mayor potencia de x.

Análogamente se puede deducir que cuando x®-¥ una función polinómica tiende a ¥ o a -¥, el signo depende exclusivamente del término de mayor grado.
Compruébalo con las tres funciones de la escena dando a x los valores -10, -20, -30...

7.2.- Límites (x®± ¥) de funciones inversas de polinómicas
Ya hemos visto que todas las funciones polinómicas cumplen que 
¿A qué tienden sus inversas cuando x®± ¥?

En esta escena tienes representadas las inversas de tres funciones polinómicas. 

 

 

 

En cada una de ellas tienes un punto y sus  coordenadas. Cambiando la x de los puntos, averigua el  
 
7.3.- Límites (x®± ¥) del cociente de dos funciones polinómicas
EJERCICIO 16.- Calcula los límites de las siguientes funciones cuando x®¥ y cuando x®-¥ ayudándote de las correspondientes escenas:

 Si te fijas en el grado del polinomio del numerador y en el del denominador, podemos sacar las siguientes conclusiones:

Si , entonces:
Si grado de P > grado de Q (m>n), entonces (el signo es el de )
Si grado de P < grado de Q (m<n), entonces
Si grado de P = grado de Q (m=n), entonces

 
Los límites cuando x®-¥ se resuelven de forma similar. Sólo hay que tener en cuenta la regla de los signos y si el exponente de la mayor potencia de x es par o impar.

EJERCICIO 17

Comprueba los límites que has calculado en el ejercicio anterior, aplicando las conclusiones expuestas
       
           
  Ángela Núñez Castaín
 
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2001
 
 

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