DERIVADAS SUCESIVAS
Análisis: Función derivada
 

1.-CONCEPTO

Si la función  f ' es derivable, podemos calcular la derivada de esta función y obtenemos una nueva función que llamamos derivada segunda de f y representamos por f ''.

Si razonamos de forma análoga con f '', podemos obtener la derivada tercera de f que llamamos f ''' y así sucesivamente: f iv, f v, ...

Ejemplo:

f

f '

f ''

f ''' f iv

x3

3x2 6x 6 0

ex

ex ex ex ex
ln x 1/x -1/x2 2/x -2/x2
sen x cos x -sen x -cos x sen x

Nota:

 La función exponencial ex también se expresa como exp(x)


2. Regla de la cadena

El siguiente programa Descartes permite representar cualquier función polinómica hasta el 4 grado: ax4+bx3+cx2+dx+e. Seleccionar los coeficientes como parámetros para fijar la función. 

El parámetro de entrada deriv puede tomar valores de 0 a 2, para representar la primera derivada o segunda derivada seleccionar el valor deriv a 1 o a 2 respectivamente. 

 

Los conceptos teóricos que se exponen a continuación han sido ilustrados tomando representaciones de este programa y podrá ser utilizado para resolver algunos ejercicios.


3. INFORMACIÓN QUE APORTAN LAS DERIVADAS SUCESIVAS: Máximos y mínimos locales.

Criterio del signo se la derivada primera

En lo sucesivo vamos a tratar con funciones continuas y derivables. En un curso superior sobre derivadas se considerarán otras situaciones.

Ya vimos que hay una relación entre la monotonía de la función f(x) (crecimiento ó decrecimiento) y el valor de la derivada primera f (x).

f(x) creciente: f (x) > 0

f(x) decreciente: f (x) < 0

También veíamos que en los puntos donde la función cambia de creciente a decreciente o de decreciente a creciente la derivada se hace cero f (x) = 0 ya que el cambio de signo de la derivada se hace con continuidad y necesariamente tiene que pasar por el valor 0.

Tenemos dos esquemas posibles, cuando cambia la monotonía de la función al pasar por el punto x = a donde la función es continua

Crecimiento

Máximo local Decrecimiento
f (a-h) > 0 f (a) = 0 f (a+h) < 0

 

Decrecimiento

Mínimo local

Crecimiento

f (x-h) < 0 f (a) = 0 f (a+h) >0

Ejemplo 1: 

Sea la función f(x) = x3-6x2+9x+2, la función derivada es f (x) = 3x2-12x+9

Si igualamos a cero f (x) obtendremos los posibles máximos o mínimos locales.

 3x2-12x+9 = 0, resolviendo la ecuación de segundo grado se obtiene x=1 y x =3 es decir f (1) = 0, f (3) = 0

Podemos descomponer el dominio de la función en tres regiones (-infinito, 1), (1, 3) y (3, +infinito)

Cómo es la monotonía en cada intervalo ?

Bastará calcular el signo de la derivada en un punto cualquiera de un intervalo cualquiera. Por ejemplo, para el intervalo (-infinito, 1) tomemos x=0 donde la derivada vale f (0) = 9 > 0, luego en este intervalo la función f(x) es creciente, por tanto en (1,3) es decreciente y en (3,+infinito) creciente

( -inf , 1 ) x=1 ( 1 , 3 ) x=3 ( 3 ,+inf )
f '  > 0 f = 0 f < 0 f = 0 f > 0
Crece Máximo Decrece Mínimo Crece

Criterio del signo de la derivada segunda

En un punto x = a donde la exista un máximo local la derivada primera cambia de signo de f > 0 a f < 0, esto significa que la derivada primera f (x) pasa decreciendo por el punto x=a, necesariamente la derivada segunda tiene que ser negativa

f (a) < 0

En un punto x = a donde exista un mínimo local la derivada primera cambia el signo de f < 0 a f > 0, esto significa que la derivada primera f (x) pasa creciendo por el punto x = a, necesariamente la derivada segunda tiene que ser positiva

f (a) > 0

Donde habrá siempre que

 f (a) = 0

Máximo local f (a) < 0
Mínimo local f (a) > 0

Veamos ahora cómo se puede resolver el problema de hallar máximos y mínimos con el criterio de la derivada segunda.

En el Ejemplo 1  nos daban la función f(x) = x3- 6x2+9x+2. 

Se calculan las derivadas sucesivas f (x) = 3x2-12x+9, f (x) = 6x-12

Se iguala a cero la primera derivada para hallar las abcisas de posibles puntos máximos o mínimos:

3x2-12x+9 = 0, resolviendo x = 1, x = 3. Ahora veamos el signo de la derivada segunda en cada abcisa:

f (1) = - 6 < 0,  f (3) = 6 > 0 

Por tanto en x = 1 hay un máximo y en x = 3 hay un mínimo. 

Para las ordenadas de estos puntos basta calcular los valores numéricos f(1) = 6, f(3)=2. 

Punto máximo (1,6), punto mínimo (3,2)

La función 

f(x) = -x2+3x+1 presenta un punto máximo 

Las derivadas sucesivas

 f(x) = -2x+3

f (x) = -2

Utilizar el Nippe Descartes para funciones polinómicas para comprobar todas las observaciones que hagamos aquí.

El máximo local se alcanza para x=1.5 y la tangente a la curva es horizontal f '(1.5)=0

Para x < 1.5 la función es creciente y la pendiente positiva,  f > 0

Para x > 1.5 la función es decreciente y la pendiente negativa, f < 0

La función f (x) es decreciente y el corte con el eje OX indica la abcisa del máximo, f (1.5) = 0

La función f (x) es negativa

La función 

f(x) = x2-3x-1 presenta un punto mínimo para x=1.5

Las derivadas sucesivas son

 f(x) = 2x-3

f (x) = 2

En x=1.5 la tangente es horizontal y f (1.5)=0
Para x < 1.5 la función es decreciente y la pendiente negativa, f < 0

La función f (x) es positiva

Resuelve el problema anterior de forma analítica utilizando los dos criterios explicados al margen y contrasta esta solución con la obtenida mediante el Nippe Descartes.

Experimenta con Descartes

 Utiliza el Nippe Descartes para funciones polinómicas y determina los puntos máximos y mínimos locales de la función f(x)=x4 - 2x2

Después calcula analíticamente los mismos utilizando los dos métodos explicados en el margen izquierdo. Contrasta las soluciones con las halladas por el método de experimentación.  

 

4. INFORMACIÓN QUE APORTAN LAS DERIVADAS SUCESIVAS: CURVATURA

La curvatura de una función está relacionada con el crecimiento de la derivada. Si la tasa de variación media de una función va aumentando a lo largo de un intervalo la función tiene curvatura convexa en dicho intervalo. Si la tasa de variación media va disminuyendo la función tiene curvatura cóncava . Si la tasa de variación media se mantiene constante la función no tiene curvatura, la función aumenta o disminuye de forma lineal.

Los siguientes dibujos nos dan idea  de la curvatura.

Convexa y decreciente

Convexa y creciente

En ambos casos la TVM (tasa de variación media) a lo largo del intervalo [a,b] aumenta: en el caso de la función creciente porque la TVM  se hace cada vez vez más positiva (aumenta más), en el caso de la función decreciente porque la TVM se hace cada vez menos negativa (disminuye menos). 

Cóncava y creciente

Cóncava y decreciente

En ambos casos la TVM a lo largo del intervalo [a,b] disminuye: en el caso de la función creciente porque la TVM  se hace cada vez menos positiva (aumenta menos), en el caso de la función decreciente porque la TVM se hace cada vez más negativa (disminuye más) 

Lineal y creciente

Lineal y decreciente

La función lineal, creciente o decreciente, no tiene curvatura y es debido a que la tasa de variación media a lo largo del intervalo [a,b] se mantiene constante.

Puesto que la derivada es la tasa de variación instantánea llegamos a la siguiente conclusión, que relaciona la curvatura con el crecimiento o decrecimiento de la función derivada f (x) y por tanto con el signo de la derivada segunda

Función convexa

Función cóncava

f (x) es creciente f (x) es decreciente
f (x) > 0 f (x) < 0

Observar que si la derivada segunda es nula en un intervalo [a,b] es porque la derivada primera es constante y por lo tanto la función f(x) es lineal.

Determinación analítica de los intervalos de concavidad y convexidad.

Ejemplo 1

Sea la función f(x) = x4-2x2, cuyos intervalos de concavidad o convexidad queremos determinar. 

Empecemos por calcular las derivadas sucesivas

f (x) = 4x3-4x

f (x) = 12x2-4

Para f > 0 hay convexidad y para f < 0 hay concavidad. La solución consiste en resolver las inecuaciones 

12x2-4 > 0 para hallar la región convexa y 12x2-4 < 0 para la región cóncava. En este caso no se complica mucho el cálculo ya que 

12x2-4 > 0 implica 12x2 > 4 implica x2 > 4/12 es decir x2 > 1/3, de donde x > raíz(1/3) ~  0.5774  ó x < -raíz(1/3) ~ - 0.5774

En este caso y en otros similares donde podamos calcular las raíces de la derivada segunda con facilidad se puede llegar al mismo resultado. Supuesto que f es continua la función se tendrá que anular en los puntos de paso de una región a otra (pues hay cambio de signo de f ). Así que, igualando a cero f = 0, se obtiene:

12x2-4 = 0 implica 12x2 = 4 implica x = raíz(1/3). Estos dos valores dividen al dominio de la función en tres regiones: (-inf,-raíz(1/3)), (-raíz(1/3),+raíz(1/3)) y (+raíz(1/3), +inf). Basta averiguar cual es el signo de f en uno cualquiera, por ejemplo en el central; tomemos un punto cualquiera p.e x=0 y comprobamos que f (0) = -4. Luego se trata de un intervalo de concavidad, y por alternancia los otros dos son de convexidad.

 

La curvatura es una manifestación de la rapidez con que aumenta o disminuye la función y no del propio crecimiento o decrecimiento de la función.

Tanto en la región cóncava como en la convexa se observa que la función puede crecer o decrecer. Pero la derivada  en la región cóncava es decreciente, es decir el crecimiento medio va disminuyendo, y en la región convexa es creciente, es decir el crecimiento medio va  aumentando.

Observa las siguientes magnitudes macroeconómicas y haz una valoración de la evolución de las mismas a lo largo del tiempo a la vista de la forma de la curvatura que presentan

Experimenta con Descartes

Considera la función polinómica siguiente

f(x) = 0.3x4+x3+0.5x2+x+1

Se trata de que determines los intervalos de concavidad y convexidad.

Observa las escenas y ajusta la posición de la abcisa x para resolver el problema. Los coeficientes polinómicos son a= 0.3, b=1, c=0.5, d=1, e=1

La línea azul es la función f(x) y la línea amarilla la de su derivada f (x). Donde ésta crece la región es convexa y donde decrece es cóncava.

La línea rosa representa la función derivada segunda f (x). Donde ésta es positiva f > 0 la región es convexa y donde es negativa f < 0 es cóncava.

 

Realiza después el cálculo de forma analítica y contrasta el resultado con el obtenido con Descartes.

Utiliza el método que consiste en hallar las raíces de la derivada segunda

 

Experimenta con Descartes

Determina los intervalos de concavidad y convexidad de la función f(x) = x4-2x que se ha resuelto en el Ejercicio 1 utilizando la escena de Descartes para funciones polinómicas.

Los coeficientes que hay que poner ahora en la escena son

a=1, b=0, c=-2, d=0, e=0


5. INFORMACIÓN QUE APORTAN LAS DERIVADAS SUCESIVAS: PUNTO DE INFLEXIÓN

Se trata de la función polinómica 

f(x)=x3+3x2+x+1

La primera y segunda derivadas son

f (x) = 3x2+6x+1

f (x) = 6x+6

Comprobar con el Nippe Descartes anterior de funciones polinómicas  las tres escenas siguientes.

El punto de inflexión es el (-1,2) y en él se verifica que la derivada segunda es nula, f (-1) = 0

Una vez hallada la abcisa del punto de inflexión x=-1, la ordenada se obtiene calculando el valor de f(-1) = 2 

Observar  la función f(x) y la recta tangente a la curva donde cambia la curvatura. Se puede apreciar como la tangente  atraviesa la curva dejando por debajo la región cóncava y por encima la región convexa.

Observar como  la f (x)  es decreciente donde f(x) es cóncava y como es creciente donde es convexa.

Observar que la f (x) es negativa donde hay concavidad y es positiva donde hay convexidad.    

Supongamos una función continua f(x) que presente un intervalo de concavidad (convexidad)  seguido de otro de convexidad (concavidad). En la región cóncava la derivada segunda es negativa, f < 0 y en la región  convexa es positiva, f > 0. El punto de paso de una región a otra es un punto característico de cambio de curvatura llamado punto de inflexión. Si f (x) es continua necesariamente en el punto de inflexión se satisface que f = 0.

El punto de inflexión es un punto característico debido a que el ritmo de variación de la función cambia al pasar por él, ya que la tasa de variación media venía disminuyendo (aumentando) en la región cóncava (convexa) y al producirse la inflexión la tasa de variación media empieza a aumentar (disminuir) en la siguiente región convexa (cóncava).

Como la recta tangente a la curva f(x) queda por debajo en los puntos de convexidad y por encima en los puntos de concavidad, resultará que en el punto de inflexión la recta tangente queda a un lado por encima y al otro lado por debajo, es decir la tangente atraviesa la curva en dicho punto.

A continuación se muestran algunos casos:

Inflexión con tangente horizontal  

Inflexión con tangente horizontal

Inflexión con tangente  positiva

Inflexión con tangente negativa

 

Dibuja todos los caso restantes posibles de inflexión


6. Ejercicios y problemas:

1: Calcula la derivada segunda de las siguientes funciones:

a) f(x)= sen(x2-3) b) f(x)= ln(x2-1)
c) f(x)=(x+1) / (x-2) d) f(x)=(ex+e-x) / 2

Solución

2: Determina los intervalos de crecimiento, los máximos y los mínimos locales de la función f(x)=x3- 1.5x2- 6x+1

Solución

3: Hallar la curvatura de las siguientes funciones y explicar su significado:

a) f(x)=x4 b) f(x)=ex c) f(x)=ln x

Solución

4: Ya has aprendido que si una función f(x)  tiene un punto de inflexión en x=a su derivada segunda tiene que ser nula f (a)=0.

Ahora bien la proposición recíproca no es cierta, es decir si la derivada segunda f (a)=0 no necesariamente hay punto de inflexión en x=a. El ejemplo f(x)=x4 que se ha puesto antes puede servirnos para probar esta afirmación. Comprobar que dicha función tiene nula la derivada segunda en x=0 y sin embargo en x=0 no hay punto de inflexión Qué es lo que sucede?

Solución

5: Hallar los puntos de inflexión de la siguientes funciones:

a) f(x)=x3 - 4x b) f(x)=x4 - 6x2 c) f(x)=x4 - x

Orientación: Se procede a calcular la derivada segunda y se iguala a cero f (x)=0, de donde se obtiene las abcisas x que pueden ser punto de inflexión, ya que esa condición es necesaria. Pero no es suficiente, hay que examinar qué ocurre a cada lado del posible punto de inflexión. Si x=a es una abcisa de punto de inflexión se tiene que verificar que el signo de f (a-h) es distinto del signo de f (a+h), siendo h>0 una cantidad arbitrariamente pequeña (a-h es una abcisa próxima a a por la izquierda y a+h es una abcisa próxima a a por la derecha.

Otra forma de averiguar si el punto donde la derivada segunda se anula es o no de inflexión es comprobar que la derivada tercera es distinta de cero f (a)<>0, puesto que si a es un punto de inflexión cambiará la curvatura al pasar por él, es decir la derivada segunda pasará o creciendo (de f (a-h)< 0 a f (x+a) >0 y entonces f (a)>0) o decreciendo ( de  f (a-h)> 0 a f (x+a) <0) y entonces f (a)<0)

Otra forma de averiguar si el punto donde la derivada segunda se anula es o no de inflexión es comprobar que la derivada tercera es distinta de cero f (a)<>0, puesto que si a es un punto de inflexión cambiará la curvatura al pasar por él, es decir la derivada segunda pasará o creciendo (de f (a-h)< 0 a f (x+a) >0 y entonces f (a)>0) o decreciendo ( de  f (a-h)> 0 a f (x+a) <0) y entonces f (a)<0)

Ejemplo: f(x)=x3, f (x)=3x2, f (x)=6x=0 implica que x=0 es un posible punto de inflexión. Para verificar si es punto de inflexión, comprobemos si cambia de signo la derivada segunda al pasar por x=0: f (0-0.01)= -0.06 < 0 y f (0+0.01)=0.06 >0. Por tanto hay inflexión en x=0. Observar que la derivada tercera es distinta de cero f`(x)=6.

Solución

6: Las curvas de mortalidad acumulada de tres poblaciones vienen dadas, aproximadamente, por las funciones f(x)=x2, g(x)=raiz2(x) y h(x)=x. Se ha tomado como intervalo de vida [0,1]. Estudiar su curvatura y explicar brevemente el significado de cada una de esas curvas.

Solución

7: La virulencia de cierta bacteria se mide en una escala de 0 a 50 y viene expresada por la función V(t)=40+15t-9t2+t3, donde t es el tiempo, en horas, transcurrido desde que comenzó el estudio en el instante t=0. Indica los instantes de máxima y mínima virulencia en las 6 primeras horas, y los intervalos de tiempo en los que crece o decrece.

Solución

8: Un banco lanza al mercado un plan de inversión cuya rentabilidad en R(x) en miles de euros, viene dada en función de la cantidad que se invierte, x, en miles de euros, por medio de la siguiente expresión: R(x)= -0.001x2+0.04x+3.5

a) Qué cantidad de dinero se debe invertir para obtener la máxima rentabilidad?

b) Qué rentabilidad se obtendrá?.

Solución

9: La función f(x) = 60x/(x2+9) indica los beneficios, en miles de euros, obtenidos por una empresa desde que comenzó a funcionar hace x años (x=0 indica el momento de constitución de la empresa).

a) Haz una representación gráfica aproximada de la función teniendo en cuenta el dominio válido en el contexto del problema.

b) Al cabo de cuanto tiempo obtiene la empresa el beneficio máximo. Cuál es este beneficio?

c) Perderá dinero la empresa en algún momento? Es posible que llegue un momento en que no se obtenga beneficios no pérdidas? Razona la respuesta.

Solución

         
           
  Ángel Cabezudo Bueno
 
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2001
 
 

 

 

 

Soluciones
 

1:

a) f'(x)= 2xcos(x2-3) b) f'(x)= 2x/(x2-1)
c) f'(x)=-3/(x-2)2 d) f(x)=(ex-e-x) / 2

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2:

Crecimiento Máximo Decrecimiento Mínimo Crecimiento
(-inf,-1) x=-1 (-1,2) x=2 (2,+inf)

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3:

a) f(x)=x4 -> f '(x)=4x3; f ''(x)=12x2>=0 para todo x, por tanto es convexa para todo x. La derivada primera es estrictamente creciente.

b) f(x)=ex -> f '(x)=ex; f ''(x)=ex>0 para todo x, por tanto es convexa para todo x. La derivada primera es estrictamente creciente.

c) f(x)=ln(x) está definida para x>0 y f '(x)=1/x; f ''(x)=-1/x2<0 para x>0, por tanto es cóncava en su dominio. La primera derivada es estrictamente decreciente.

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4:Como f '(x)<0 para x<0 y f '(x)>0 para x>0, se trata de un mínimo relativo

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5: Puntos de inflexión:

a) f(x)=x3-4x -> (0,0) ;   b) f(x)=x4-6x2 -> (-1,5) y (1,5);   c) f(x)=x4-x -> (0,0)

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6: Por ser f(x)=x2 convexa, crece el numero de defunciones por año. Al ser g(x)=raiz2(x) cóncava decrece el número de defunciones por año. Como h(x)=x es lineal el número de funciones año se mantiene constante.

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7: La máxima virulencia se alcanza a la hora de haber comenzado el estudio. La mínima virulencia se observa a las 5 horas. La virulencia crece entre las 0 y 1 y entre las 5 y 6 horas y disminuye entre la 1 y las 5 horas.

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8: a) 20.000 euros ; b) 3.900 euros

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9:

 a)

 

b) El beneficio máximo de 10.000 euros se alcanza a los 3 años de constituida la sociedad.

c) Por ser la función beneficio positiva para x >0, la empresa nunca perderá dinero.

d) En teoría no tendrá beneficios, f(x)=0 para x infinito, es decir,  en la práctica nunca.

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