DERIVADA DE LA FUNCIÓN COMPUESTA
Análisis: Función derivada
 

1.- CONCEPTO DE FUNCIÓN COMPUESTA (función de función)

Sean las funciones  f(x) = x2, g(x) = sen(x)

la función f  lo que hace es calcular el cuadrado f(1)=12=1, f(2)=22=4, etc. por tanto 

f(sen(x)) = sen2 (x)  = f(g(x)) = (f o g)(x)

es una función compuesta de g y de f que expresamos por f o g

La interpretación de f o g aplicada a la variable x significa que primero tenemos que aplicar g a x, con lo que obtendríamos un valor de paso

z=g(x)=sen(x)

y después aplicamos f a z para obtener

 y=f(z)=z2=sen2(x)

Recordar: (fog)(x)=f(g(x))


2. Regla de la cadena

Si pretendemos calcular la derivada de esta función a partir del conocimiento que tenemos de las funciones elementales vistas anteriormente procedamos de la siguiente forma:

lo que significa, que si variamos x una cantidad h, obtenemos una variación g(x+h)-g(x) de la función g, a su vez como la función f depende de g, esta variación de g produce una variación en f: f(g(x+h)-f(g(x))

La tasa de variación media de g(x)  respecto de la variación de x es

a la vez que la tasa de variación media de f(g(x)) respecto de la variación de g(x) es

si pasamos al limite cuando x tiende a 0, también g(x+h)-g(x) tenderá a 0 por ser derivable (y por tanto continua) de lo que se deduce la siguiente regla de derivación de la función compuesta:

Dx[f(g(x))] = Dg[f(g(x)]Dx[g(x)]

Este resultado se conoce como regla de la cadena donde la función g(x) hace de variable intermedia o de paso para derivar la función compuesta f o g respecto de la variable independiente x, que podemos expresar así:

"La derivada de (f o g)(x) respecto de x es igual al producto de la derivada de (f o g) respecto de g, por la derivada de g respecto de x".

Ejemplo1:

f(x) = sen (x2) es una función compuesta de la función potencial g(x)=x2 y una trigonométrica f(g) = sen(g)

Por tanto

Dx[sen(x2)] = Dg[sen(g)]Dx[g(x)] = cos(g)2x =cos(x2)2x = 2xcos(x2)

Ejemplo 2:

f(x) = sen2(x) es una función compuesta de una  trigonométrica g(x)=sen(x) y de una potencial f(g)=g2

Por tanto

Dx[sen2(x)] = Dg[g2]Dx[g(x)] = 2gcos x = 2sen(x)cos(x)

 


3. Visualización de funciones compuestas y de sus derivadas

Hay tres entradas de parámetros, función (1 a 10),  derivada (0,1) y a (abcisa del punto). El parámetro derivada puesto a 1 visualiza la expresión de la derivada y su gráfica correspondiente. La abcisa del punto permite evaluar la función y su derivada en dicha abcisa.

Para averiguar conocimiento que se tiene de las derivadas de las funciones compuestas, poner el parámetro derivada a valor 0 y seleccionar una función de 1 a 10, después reemplazar la entrada editable g(x) por la supuesta función derivada y poner el parámetro derivada a 1 para comprobar si la entrada de la función derivada ha sido correcta.

Pulsar Inicio y repetir para otra función.

Pulsando Inicio y poniendo el parámetro función a 0, se podrá introducir la entrada f(x) y g(x) por las funciones que el estudiante desee, aunque en este caso el programa no comprueba si la entrada de la función derivada es correcto.

1: 2sen(x) 2: (sen (x)+1)2 3: raiz2(cos(x)) 4: 4e-x^2 5: ln(x2)
6: ln(sen(x)) 7: sen(2x+1) 8: raiz2(x2+1) 9: sen2(x) 10: (x2-1)raiz2(x)

4. Ejercicios y problemas:

1: Calcula la derivada de cada una de las funciones siguientes:

1: f(x)=ln (x2+3x+1)  2: f(x)= ln xex   3: f(x)=e-5x^2+1
4: f(x)=raiz2(x3) 5: f(x)=1/raiz2(x2+1) 6: ln((x-1)/(x+1))

2: Sea la función f(x)=4e-x^2 (*)

a) Calcular el punto (a,f(a)) de la curva  donde el valor de la función coincide con el de su derivada. 

b) Calcular el punto (a, f(a)) donde la tangente a la curva tiene una inclinación de 45. Obtener la ecuación de dicha tangente.

3: Una empresa textil produce tejidos de algodón. El coste de fabricación (en miles de euros) depende de la cantidad fabricada (en metros cuadrados) según la función C(x)=20.000+20ln(1+0.5x)

a) Calcula la derivada de la función de costes y su valor en x=20.000m2.

(Nota: en economía, se llama función de costes marginales a la derivada de la función de costes).

b) Si la empresa produce 20.000 m2 de tela, cuánto le costaría producir un m2 adicional? Compara este resultado con el valor del coste marginal para x=20.000

Operadores algebraicos que se pueden emplear en las funciones f(x) y g(x):

Suma +
Resta -
Multiplicación *
División /
Potenciación ^

Algunas expresiones que admite el programa para las funciones f(x) y g(x) son:

Raíz cuadrada sqrt(x)
Exponencial natural ex exp(x)
Logaritmo neperiano ln(x) log(x)
Logaritmo decimal log10(x) log10(x)
Seno sen(x) ó sin(x)
Coseno cos(x)
Tangente tan(x)
Valor absoluto abs(x)

       
           
  Ángel Cabezudo Bueno
 
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2001
 
 

 

 

 

Soluciones:
1: 1: (2x+3) / (x2+3x+1)

1: 2: (1+x) / x

1: 3: -5xe-5x^2+1

1: 4: 3/2 x1/2 = 3/2 raiz2(x)

1: 5: x / raiz2(x2+1)

1: 6: 2 / (x2 --1)

2: a) (-0.5;3.115) , b) (-0.127;3.935)

3: a) C(x)=10/(1+0.5x) ; b) 1 euro (aproximadamente)

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