PRODUCTO DE MATRICES

Álgebra

 

9. PRODUCTO DE  MATRICES
El producto de matrices requiere de una condición previa muy restrictiva: si A y B son dos matrices, podrán multiplicarse sólo en el caso de que el número de columnas de la primera matriz coincida con el número de filas de la segunda. Se dice en este caso que A y B son multiplicables.

El resultado es una matriz que tiene tantas filas como la primera y tantas columnas como la segunda.

Así, si C es la matriz producto AB, el elemento cij se obtiene de la siguiente manera:

1 Selecciona la fila i de la primera matriz y la columna j de la segunda.

2 Multiplica el primer elemento de la fila por el primer elemento de la columna seleccionadas. Haz lo mismo con el segundo, tercero, ..., hasta el último elemento de la fila y columna seleccionadas.

3 Por último, suma todos los productos realizados. El resultado de esta suma es el elemento buscado.

GENERADOR DE PRODUCTOS DE MATRICES

Cada vez que pulses inicio serán generadas dos matrices.

Observa la condición de multiplicabilidad y, en caso de que sean multiplicables, la dimensión de la matriz producto.

El botón Obtener Producto te permite ver la matriz producto.

ACTIVIDADES

9.1.- Modifica el número de filas y columnas de las matrices A y B hasta que tengas clara la condición de multiplicabilidad. Si la dimensión de la matriz A es mxn y la de B es pxq, en que condiciones A y B serán multiplicables?

9.2.- Cómo se obtiene el elemento de la posición 31 de la matriz producto?

9.3.- Es posible multiplicar matrices cuadradas? En qué casos?

9.4.- Es posible multiplicar una matriz 2x4 por otra 4x3? Qué sucede si queremos dar la vuelta a la multiplicación, y multiplicar la matriz 4x3 por la matriz 2x4? Cómo se podría enunciar este fenómeno?

10. PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE MATRICES
A continuación se presentan algunas propiedades del producto de matrices.

Presta una especialísima atención a la "no propiedad" del producto de matrices.

PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE MATRICES

 

[Nota importante: debe entenderse que todas las propiedades enunciadas son válidas en caso de que las matrices involucradas sean multiplicables.]

Observa las distintas propiedades y sus enunciados.

Genera los escalares y matrices que necesites para realizar la comprobación de cada propiedad.

ACTIVIDADES

10.1.- Una propiedad lo es porque es cierta para todos los casos a los que se refiere. Una "propiedad" deja de serlo si existe algún caso (basta con uno sólo) en el que no sea correcta. Es lo que sucede con la conmutatividad del producto de matrices. Pon un ejemplo de dos matrices A y B tales que los productos AB y BA no den el mismo resultado.

10.2.- El hecho de que el producto no sea conmutativo no impide que existan casos particulares en que AB y BA den el mismo resultado. Busca algún ejemplo de dos matrices A y B tales que AB=BA.

10.3.- Como queda dicho anteriormente, la conmutatividad no es una propiedad por no ser cierta para todos los casos. Con todo, cuando ocurre el caso del apartado 10.2, se dice que las matrices A y B conmutan. Como deben ser las dimensiones de A y B para que conmuten?

10.4.- Se entiende por potencia de una matriz al producto reiterado de la matriz por si mesma, hasta un número de factores igual al exponente. Qué condición ha de cumplir una matriz para que se pueda calcular una potencia cualquiera de ella?

10.5.- Calcula el cubo de alguna matriz que generes con la anterior escena. Observa antes la propiedad asociativa del producto de matrices: tiene alguna utilidad esta propiedad a la hora de trabajar con potencias de matrices?

10.6.- Calcula varias potencias de alguna matriz de orden 1 y describe lo que suceda.


     
  Pepe Sacau Fontenla
 
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2004
 
 

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