Ejercicios y problemas:
1: Calcula la derivada segunda de las siguientes funciones:
2: Determina los intervalos de crecimiento, los máximos y los mínimos locales de la función f(x)=x3- 1.5x2- 6x+1 3: Hallar la curvatura de las siguientes funciones y explicar su significado:
4: Ya has aprendido que si una función f(x) tiene un punto de inflexión en x=a su derivada segunda tiene que ser nula f ´´(a)=0. Ahora bien la proposición recíproca no es cierta, es decir si la derivada segunda f ´´(a)=0 no necesariamente hay punto de inflexión en x=a. El ejemplo f(x)=x4 que se ha puesto antes puede servirnos para probar esta afirmación. Comprobar que dicha función tiene nula la derivada segunda en x=0 y sin embargo en x=0 no hay punto de inflexión ¿Qué es lo que sucede? 5: Hallar los puntos de inflexión de la siguientes funciones:
Orientación: Se procede a calcular la derivada segunda y se iguala a cero f ´´(x)=0, de donde se obtiene las abcisas x que pueden ser punto de inflexión, ya que esa condición es necesaria. Pero no es suficiente, hay que examinar qué ocurre a cada lado del posible punto de inflexión. Si x=a es una abcisa de punto de inflexión se tiene que verificar que el signo de f ´´(a-h) es distinto del signo de f ´´(a+h), siendo h>0 una cantidad arbitrariamente pequeña (a-h es una abcisa próxima a a por la izquierda y a+h es una abcisa próxima a a por la derecha. Otra forma de averiguar si el punto donde la derivada segunda se anula es o no de inflexión es comprobar que la derivada tercera es distinta de cero f ´´´(a)<>0, puesto que si a es un punto de inflexión cambiará la curvatura al pasar por él, es decir la derivada segunda pasará o creciendo (de f ´´(a-h)< 0 a f ´´(x+a) >0 y entonces f ´´´(a)>0) o decreciendo ( de f ´´(a-h)> 0 a f ´´(x+a) <0) y entonces f ´´´(a)<0)
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Otra forma de averiguar si el punto donde la derivada segunda se anula es o no de inflexión es comprobar que la derivada tercera es distinta de cero f ´´´(a)<>0, puesto que si a es un punto de inflexión cambiará la curvatura al pasar por él, es decir la derivada segunda pasará o creciendo (de f ´´(a-h)< 0 a f ´´(x+a) >0 y entonces f ´´´(a)>0) o decreciendo ( de f ´´(a-h)> 0 a f ´´(x+a) <0) y entonces f ´´´(a)<0) Ejemplo: f(x)=x3, f ´(x)=3x2, f ´´(x)=6x=0 implica que x=0 es un posible punto de inflexión. Para verificar si es punto de inflexión, comprobemos si cambia de signo la derivada segunda al pasar por x=0: f ´´(0-0.01)= -0.06 < 0 y f ´´(0+0.01)=0.06 >0. Por tanto hay inflexión en x=0. Observar que la derivada tercera es distinta de cero f`´´´(x)=6. 6: Las curvas de mortalidad acumulada de tres poblaciones vienen dadas, aproximadamente, por las funciones f(x)=x2, g(x)=raiz2(x) y h(x)=x. Se ha tomado como intervalo de vida [0,1]. Estudiar su curvatura y explicar brevemente el significado de cada una de esas curvas. 7: La virulencia de cierta bacteria se mide en una escala de 0 a 50 y viene expresada por la función V(t)=40+15t-9t2+t3, donde t es el tiempo, en horas, transcurrido desde que comenzó el estudio en el instante t=0. Indica los instantes de máxima y mínima virulencia en las 6 primeras horas, y los intervalos de tiempo en los que crece o decrece. 8: Un banco lanza al mercado un plan de inversión cuya rentabilidad en R(x) en miles de euros, viene dada en función de la cantidad que se invierte, x, en miles de euros, por medio de la siguiente expresión: R(x)= -0.001x2+0.04x+3.5 a) ¿Qué cantidad de dinero se debe invertir para obtener la máxima rentabilidad? b) ¿Qué rentabilidad se obtendrá?. 9: La función f(x) = 60x/(x2+9) indica los beneficios, en miles de euros, obtenidos por una empresa desde que comenzó a funcionar hace x años (x=0 indica el momento de constitución de la empresa). a) Haz una representación gráfica aproximada de la función teniendo en cuenta el dominio válido en el contexto del problema. b) Al cabo de cuanto tiempo obtiene la empresa el beneficio máximo. ¿Cuál es este beneficio? c) ¿Perderá dinero la empresa en algún momento? ¿Es posible que llegue un momento en que no se obtenga beneficios no pérdidas? Razona la respuesta. |
Soluciones
4:Como f '(x)<0 para x<0 y f '(x)>0 para x>0, se trata de un mínimo relativo
6: Por ser f(x)=x2 convexa, crece el numero de defunciones por año. Al ser g(x)=raiz2(x) cóncava decrece el número de defunciones por año. Como h(x)=x es lineal el número de funciones año se mantiene constante. 7: La máxima virulencia se alcanza a la hora de haber comenzado el estudio. La mínima virulencia se observa a las 5 horas. La virulencia crece entre las 0 y 1 y entre las 5 y 6 horas y disminuye entre la 1 y las 5 horas. 8: a) 20.000 euros ; b) 3.900 euros
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Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2000 | ||