INTEGRAL INDEFINIDA
Interpretación geométrica y aplicaciones de la integral
Linealidad de la integral indefinida

Las siguientes propiedades de la integral indefinida son consecuencia inmediata de las propiedades de la derivación:

I  La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de dichas funciones.

Sean dos funciones f y g. Nuestro objetivo es demostrar que se cumple la siguiente relación:


Función y=f(x)                           Función y=g(x)                                h(x)=f(x)+g(x)

1.- ¿Cuál es el valor de h(2)?. ¿Cuáles serán los puntos donde la función h vale 0?

2.- Observa como se construye la función y=h(x) y obtén su fórmula.

No sólo podemos calcular la fórmula de la función suma, sino que además se verifica una propiedad importante. Observa de nuevo las dos funciónes (una verde y otra roja) y su suma (la función naranja). A la vista de las escenas deduce de qué propiedad estamos hablando.
 

 

3.- Si no la encuentras veamos las tres escenas juntas:
 
 
¿Qué ocurre cuando la gráfica de la función roja es casi horizontal?.

¿Cuál es la función que en la parte derecha de la escena crece más rápidamente?. ¿Por qué?.

¿Qué propiedad de las derivadas estamos haciendo referencia?

Recapitulemos, tenemos dos funciones f y g y queremos hallar una primitiva de la suma h=f+g.

4.- Deduce un procedimiento para calcular una primitiva de h. Las siguientes escenas te pueden ayudar a buscarlo. Partamos de las funciones y=f(x) e y=g(x) del principio:
 
Describe que es lo que hace cada escena y reflexiona sobre qué objetivo cumple
Ahora estamos en condiciones de probar el resultado que buscábamos. 
La integral de la suma de dos funciones es la suma de las integrales de dichas funciones.

Prueba analíticamente este resultado. (Los pasos de la demostración son la secuencia de estas escenas).

Sabiendo que también se verifica que la derivada de una resta es la resta de las derivadas, ¿Se puede deducir que la integral de la diferencia de dos funciones es la diferencia de las integrales?


Autor: Enrique Martínez Arcos
 
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2001