GEOGEBRA

Introducción

En este artículo vamos a estudiar una aplicación que permite trabajar con geometría dinámica, álgebra y cálculo utilizando el ordenador. Se llama Geogebra y su objetivo es ser una alternativa para la docencia en geometría, álgebra, etc, de forma integrada, dinámica y atractiva para el alumnado.

Es una aplicación de software libre, creada por Markus Hohenwarter desde el departamento de Didáctica de la Matemática de la Universidad de Salzburgo y que ha recibido varios premios o reconocimientos, entre ellos el European Academic Software Award (2002), el International Free Software Award, categoría de educación (2005) y el Distinguished Development Award otorgado por la Association for Educational Communications and Technology de Orlando (2008), entre otros.

La página web del proyecto es http://www.geogebra.org.

Geogebra: características

La última versión disponible es la 3.2. Se trata de software libre con licencia GPL para cualquier uso no comercial (http://www.geogebra.org/download/license.txt).

Relacionada con Geogebra su uso y difusión es de interés la siguiente wiki en español http://www.geogebra.org/en/wiki/index.php/Spanish.

Existen versiones para Windows, Mac OS y GNU/Linux (32bit/64bit). Nosotros vamos a utilizar la versión para GNU/Linux 32 bit. Los ejercicios construidos (construcciones utilizando la terminología de Geogebra) son portables, además de permitir a partir de ellas generar páginas web dinámicas.

Geogebra ejecuta un archivo Java (geogebra.jar) y almacena cada uno de los ejercicios o construcciones en un archivo XML con de extensión ggb.

Podemos decir que Geogebra está formada por un conjunto de objetos básicos, un conjunto de acciones elementales a realizar sobre estos objetos, un lenguaje de programación que utiliza una sintaxis específica y una interfaz gráfica que permite trabajar, operar y relacionar estos objetos.

Desde esta interfaz dinámica e interactiva, los usuarios pueden diseñar, programar y ejecutar acciones y obtener resultados matemáticos del tipo gráficos (interactivos), cálculos, simulaciones, etc.

Las principales características de Geogebra son:

1. Es un recurso para la docencia de las matemáticas basada en las TIC, útil para toda la educación secundaria.
2. Permite realizar acciones matemáticas como demostraciones, supuestos, análisis, experimentaciones, deducciones, etc.
3. Combina geometría, álgebra y cálculo. También deriva, integra, representa...
4. Permite construir figuras con puntos, segmentos, rectas, vectores, cónicas y genera gráficas de funciones que pueden ser modificadas de forma dinámica utilizando el ratón.
5. Geogebra trabaja con objetos. Cualquier modificación realizada dinámicamente sobre el objeto afecta a su expresión matemática y viceversa. Cualquier cambio es su expresión matemática modifica su representación gráfica.
6. Puede ser utilizado tanto o­n line (http://www.geogebra.org/cms/es/download) como instalado en el ordenador (off line) desde http://www.geogebra.org/cms/es/installers.
7. Para utilizarlo o­n line se requiere tener instalado Java 1.4.2 o superior. En este caso el usuario dispone de la aplicación en forma de applet que es totalmente funcional sin instalar nada en el ordenador.

Instalación y configuración

Instalación

Existe un paquete .deb de Geogebra para ser instalado en Ubuntu 9.10 Jaunty. Los pasos a seguir para la instalación son los siguientes:

1. Ir a http://sites.google.com/site/divulgageogebra/
2. Descargar el paquete .deb que está disponible en dicha página (ojo! hay que ir hasta el pie de la página para encontrar la descarga).
3. Hacer clic sobre el paquete e instalar.
4. Reiniciar el ordenador y la aplicación está disponible en Aplicaciones > Educación > GeoGebra.

Pero la versión que proporciona este paquete es la 3.0. Si preferimos trabajar con la última 3.2 deberemos hacerlo con el archivo GeoGebra-Linux-Portable-3.2-42-0.tar.gz que descargamos desde http://www.geogebra.org/cms/es/installers.

En este caso los pasos a seguir son los siguientes:

1. Descomprimir el archivo anterior haciendo clic con el botón derecho sobre él y escoger la opción Extraer aquí.
2. Mover la carpeta descomprimida al home del usuario. Podemos hacer el paso anterior directamente en el directorio home.
3. Abrir una terminal desde Aplicaciones > Accesorios > Terminal.
4. Ir al directorio creado:

   $ cd /home/elvira/geogebra

5. Ejecutamos el script disponible en este directorio que lanza el ejecutable java correspondiente:

   $ ./geogebra.sh

6. En este caso no se genera la entrada en el menú Educación. Sencillamente se ejecuta desde la orden anterior y ya tenemos disponible la interfaz de la aplicación.

Las zonas de trabajo disponibles son:

1. Barra de herramientas: para seleccionar el objeto con el que se quiere trabajar. Contiene las herramientas de construcción.
2. Zona gráfica: para construir la figura con la ayuda del ratón, con actualización dinámica en la ventana de álgebra.
3. Zona o ventana de álgebra: en ella se muestran las coordenadas o ecuaciones correspondientes. Es importante saber que un objeto creado en la zona gráfica tiene su representación correspondiente en la Ventana de álgebra.
4. Zona de entradas o Campo de texto: para introducir directamente coordenadas, ecuaciones, comandos y funciones. En este caso los objetos o gráficas correspondientes aparecen en la Zona gráfica al pulsar Intro.

La lista de comandos disponibles se pueden visualizar haciendo clic en la flecha junto al texto comando a la derecha de la zona de entradas.

Existe aún una zona llamada de Hoja de cálculo. En esta zona o vista cada celda se identifica por su fila y columna. Por ejemplo A1 es la celda situada en la fila 1 columna A. Este nombre puede utilizarse en expresiones u órdenes haciendo referencia a su contenido.

En las celdas se pueden incluir números, coordenadas de puntos, funciones, etc y si tienen correspondencia gráfica se verá en la zona gráfica.

Tipos de objetos

En la zona de álgebra vemos que hay dos tipos de objetos matemáticos:

• Objetos libres: un objeto es libre cuando ha sido creado sin utilizar ninguno de los ya existentes.
• Objetos dependientes: un objeto es dependiente cuando ha sido creado utilizando objetos ya existentes.

Tipos de construcciones

1. 1. A partir de puntos: para la construcción de rectas, vectores, semirectas, circunferencias, arcos, etc.
   2. Construcciones relativas a otros objetos: generan objetos dependientes, como rectas paralelas, perpendiculares, mediatrices, bisectrices,...
   3. Construcciones que requieren valores: dibujar una circunferencia dado su centro y su radio, dibujar un segmento de una longitud determinada, rotación de un punto dado su ángulo de giro y centro de rotación,...

    

Personalización de la interfaz de usuario

Desde el menú Vista se puede mostrar u ocultar las vistas y otros elementos de la interfaz gráfica:

En el menú Vista podemos activar la Barra de Navegación por Pasos de Construcción que incluye al pie de la vista gráfica un botón de reproducción de los diferentes pasos que realizado para la construcción.

En Opciones > Vista Gráfica podemos establecer los parámetros que determinan los ejes X e Y y su color así como las características de la cuadrícula.

El menú contextual en la vista gráfica incluye una herramienta de zoom de aproximación y alejamiento:

También se puede utilizar la rueda del ratón para obtener este efecto.

La Barra de Herramientas se puede personalizar desde el menú Herramientas > Personalizar Barra de Herramientas:

El usuario puede añadir o eliminar elementos de la barra de herramientas y cambiar el orden de aparición en el menú.

Propiedades de los objetos

El usuario puede conocer y actuar sobre las propiedades de los objetos que va creando. Para ello se puede situar tanto en la zona gráfica como en la de álgebra y pulsando el botón derecho seleccionar Propiedades:

En este caso vemos las propiedades de un polígono: nombre, datos de su construcción y podemos establecer su estilo de trazo, color, etc.

Instalación de java

GeoGebra requiere tener instalado en el ordenador Java. Podemos comprobar si nuestro ordenador ya dispone de Java accediendo a la página http://www.java.com y ejecutando el test de comprobación.

Desde esta página también se puede descargar la versión para Ubuntu junto con el manual de instrucciones para su correcta instalación (http://java.com/es/download/linux_manual.jsp).

Nos descargamos la versión para Linux (archivo autoextraible) jre-6u20-linux-i586.bin.

Para instalar:

1. Abrir un terminal: Aplicaciones > Accesorios > Terminal
2. Crear el directorio /usr/java con permisos de administrador:

   $ sudo mkdir /usr/java

3. Mover el archivo descargado a este directorio e ir al directorio creado:

   $ sudo mv jre-6u20-linux-i586.bin /usr/java $ cd /usr/java

4. Cambiamos los permisos del archivo añadiendo ejecución:

   /usr/java$ sudo chmod a+x jre-6u20-linux-i586.bin

5. Instalamos:

   /usr/java$ sudo ./jre-6u20-linux-i586.bin

6. Comprobamos que se ha creado una carpeta con el software de Java:

   /usr/java$ ls jre1.6.0_20 jre-6u20-linux-i586.bin

7. Activamos. Ir a la carpeta /usr/lib/firefox-3.01/plugins/ y crear el enlace simbólico siguiente:

   /usr/lib/firefox-3.0.19/plugins$ sudo ln -s /usr/java/plugin/i386/ns7/libjavaplugin_oji.so

8. Reiniciar el navegador Firefox.
9. En Firefox, en la zona de URL teclear about:config y confirmar que se ha cargado el plugin de Java.

Ya tenemos listo el sistema para trabajar con Geogebra.

Utilización de Geogebra: casos prácticos

Partimos del supuesto de que la práctica es la mejor forma de evaluar la herramienta. Por ello, vamos a estudiar el funcionamiento de Geogebra mediante la realización de varios casos prácticos, todos ellos muy sencillos.

Caso 1

Vamos a dibujar la circunferencia inscrita en un triángulo cualquiera.

Paso 1

Cerramos la ventana de Álgebra. En la zona gráfica seleccionamos la función Polígono. Marcamos los tres puntos A, B y C del triángulo.

Paso 2 Dibujamos las bisectrices de dos de los tres ángulos

Seleccionamos la función Bisectriz y para ello vamos seleccionando los tres puntos modificando el orden de forma que en cada caso el punto central sea diferente.

Seleccionamos el punto de intersección de ambas bisectrices y calculamos la perpendicular desde este punto de intersección hasta el lado opuesto.

Paso 3 Dibujo de la circunferencia inscrita

Seleccionamos la opción marcada en:

Ahora hay que marcar el centro y el punto obtenido en el cálculo de la perpendicular. Dibujamos la circunferencia inscrita hasta ese punto.

Guardar la construcción desde Archivo > Guardar como.

Caso 2

Tenemos la ecuación de la circunferencia c (x - 2)² + (y - 5)² = 25 y queremos representar tanto la circunferencia como sus tangentes que pasan por el punto A de coordenadas (9, 6).

Paso 1

Introducir la ecuación de la circunferencia (x - 3)² + (y - 2)² = 25 en la zona de entradas y pulsar INTRO.

Paso 2

• Introducir el comando C = Centro[c] en el campo de entradas.
• Dibujar el punto A tecleando A = (9, 6).

Paso3

Ir a la Barra de Herramientas y desplegar el cuarto icono. Seleccionar el modo Tangentes y hacer clic sobre el punto A y sobre la circunferencia c.

Esperamos unos segundos y se dibujan las dos tangentes, al tiempo que en la zona de álgebra aparecen las ecuaciones de las dos rectas tangentes que se han dibujado.

Podemos salvar la construcción realizada: Archivo > Guardar como.

Paso 4 Utilizamos el botón de desplazamiento

En este paso vamos a comprobar como se actualizan las diferentes zonas en función de donde se hagan las variaciones. Por ejemplo, desplazamos la circunferencia y... observamos que las tangentes se adaptan.

También podemos mover el punto A y comprobar como se mueven las tangentes.

Hemos incluido también la barra de reproducción para ver en secuencia los pasos realizados en la construcción.

Salvar los cambios si se quieren.

Caso 3

Vamos ahora a dibujar un pentágono y su circunferencia circunscrita.

Paso 1 Dibujamos e pentágono

En primer lugar vamos a Archivo > Nuevo para comenzar un nuevo trabajo.

En la barra de herramientas seleccionamos el botón Polígono regular

En la zona de entradas y comandos, localizamos la orden Polígono.

Los datos que requiere esta orden son un punto (a,b) extremo de un lado del polígono, otro punto (a,b) para el otro extremo del lado y el nº de lados del polígono. Los datos dados por nosotros en la fórmula son:

Al pulsar INTRO se dibuja nuestro pentágono.

Paso 2 Búsqueda del centro de la circunferencia circunscrita

Como se trata de un polígono regular, si tomamos 3 vértices del pentágono, por ellos pasará la circunferencia circunscrita. Buscamos la función correspondiente:

Seleccionamos la opción Circunferencia dados Tres de sus Puntos, y con el ratón marcamos los 3 vértices que queramos. Se dibuja la circunferencia:

Paso 3

Seleccionamos el modo Desplaza y al cambiar la posición de cualquiera de los vértices arrastrándolo con el ratón comprobamos como se actualizan las zonas correspondientes.

Esto es lo que llamamos la Geometría dinámica.

Todos los objetos tienen sus Propiedades. Para conocerlas estando sobre el objeto, pulsar el botón derecho del ratón y el menú contextual nos muestra:

Seleccionamos la entrada Propiedades y muestra una ventana con propiedades configurables del polígono:

Las diferentes pestañas nos permiten poner subtítulo al objeto, mostrar un rótulo, cambiar los colores, el grosor y estilo del trazo, etc

Caso 4 Estudio de funciones lineales f(x)=ax

Paso 1

Dibujamos una recta que pasa por dos puntos: A(0,0) y B(2,1).

Para ello pulsamos en y situamos el punto A y situamos el punto B. Y ahora dibujamos la recta que pasa por esos dos puntos

La figura siguiente muestra gráficamente la recta y en la zona de álgebra la ecuación correspondiente:

Paso2

Situamos el ratón sobre la recta y en el menú contextual seleccionamos las Propiedades. Vamos a la pestaña Álgebra y cambiamos la ecuación de la recta a y=ax+b para poder estudiar las variaciones en la pendiente de la recta.

Si ahora hacemos clic en el botón de desplazamiento y pulsamos sobre el punto B, que es el objeto libre, veremos como cambia la ecuación de la recta al ir cambiando la pendiente de la misma.

Hemos cambiado el tipo de ecuación para poder observar mejor las variaciones en la pendiente de la recta, ya que las funciones del tipo y=mx pasan por el origen de coordenadas y el coeficiente m indica el valor de la pendiente.

Creación de applets con Geogebra

A partir de un dibujo elaborado con Geogebra podemos generar un applet¹ que insertaremos en una página web.

Elaborar estos dibujos con Geogebra ya hemos visto que es muy sencillo y la generación del applet es automática. Además no pierden la interactividad, como las construcciones que hemos realizado en los casos prácticos.

Pasos para crear un appplet con Geogebra

1. Crear la figura con Geogebra. Guardarla en una carpeta que podemos llamar applets. Nosotros vamos a utilizar la figura del Caso3 en el que hemos dibujado un pentágono y su circunferencia circunscrita y que hemos llamado pentagono.ggb.
2. Vamos a la carpeta applets y abrimos el archivo pentagono.ggb.
3. Ahora hemos de determinar el tamaño que tendrá el applet que coincidirá con el que demos a la figura. Por lo tanto, fijar el tamaño de la figura (lo usual es dejar que la figura ocupe un cuarto de pantalla). Este detalle es importante si queremos que al abrir el applet se pueda ver texto a su alrededor.
4. Vamos a Archivo > Exportar > Hoja dinámica como página web
   
   
   
5. Introducir los datos que se piden: título, nombre del autor y sobre todo las descripciones antes de realizar la construcción y después de realizarla.
   
   
   
   
6. Exportamos y guardamos el html generado.
7. A continuación en el navegador muestra la web generada que contiene el applet:
   
   
8. Se ha generado en la carpeta applets un archivo pentagono.html que es el que vemos en la figura anterior.
9. Se puede exportar a html incorporando un botón que abre Geogebra y muestra la construcción:
   
   
10. Para abrir en cualquier momento la página web hay que ir a la carpeta applets y hacer doble clic sobre el archivo html correspondiente. Nos dirá que es un archivo ejecutable y seleccionaremos Mostrar.

Podemos ver el código fuente generado en la exportación desde el navegador web yendo al menú Ver > Código fuente de la página.

Conclusión

Realmente hemos realizado una descripción muy breve de Geogebra, pero suponemos que se ha podido intuir el potencial que tiene y la gran ayuda que supone para el profesor de Matemáticas interesado en la introducción de las TIC en el aula.

Geogebra es mas que un digno rival de Cabri (software educativo y propietario para trabajar con geometría dinámica, http://www.cabri.com/es/) y su difusión es muy grande. Existen numerosas comunidades de usuarios de Geogebra que a través de sus foros, celebración de Jornadas, etc, producen y mantienen numerosa documentación relacionada con el uso de Geogebra en el aula.

En concreto desde el ITE (Instituto de Tecnologías Educativas) se ofrece en su sección de Formación en Red, un DVD con experiencias basadas en Geogebra (http://www.isftic.mepsyd.es/formacion/enred/experiencia/index.php) preparadas por los propios profesores que han realizado el curso correspondiente.

Enlaces de interés

• Si necesitamos un manual completo de la herramienta los propios autores ponen a disposición de los usuarios una completa guía de utilización, descargable desde http://www.geogebra.org/help/docues.pdf.
• En la página de Innovacien (red de educación de futuro) está disponible todo un sitio para Geogebra con gran cantidad de documentación, información técnica, etc http://www.foroinnovacion.cl/innova100/catalogo/index.php?title=Geogebra.
• En http://www.buenastareas.com/temas/geogebra/ hay disponible una base de datos de ensayo para estudiantes.