La diferencia b-a se llama incremento de x.

La diferencia f(b)-f(a) recibe el nombre de incremento de y, o también tasa de variación de la función en el intervalo [a,b].

En la siguiente escena están representadas las funciones y=x², y=x, y=raíz(x). (Para pasar de una a otra utiliza el pulsador curva).

2.-Halla la tasa de variación para cada una de las tres funciones en el intervalo [1,4]. ¿Son iguales? Prueba con otros intervalos, y anota los resultados en tu cuaderno.

3.-Halla para cada función un intervalo [a,b] en el cual la tasa de variación sea igual a 3. ¿Cuál es la amplitud de cada intervalo? ¿Son iguales?

Así, para comparar el comportamiento de una función en dos o más intervalos, es mejor calcular el crecimiento medio en cada uno de ellos (o crecimiento por unidad). Este crecimiento medio recibe el nombre de tasa de variación media (T.V.M.) de la función f en el intervalo [a,b], y se obtiene como el cociente entre la tasa de variación y la amplitud del intervalo:

2.-Para cada función, halla la T.V.M. en los intervalos [2,4], [4,6] y [6,8]. (Observa que la función y=x² crece cada vez más deprisa; y=x crece siempre al mismo ritmo, mientras que y=raíz(x) lo hace cada vez más despacio).

3.-Para la función y=x² halla la T.V.M. en un intervalo [a,b] tal que a y b estén en el semieje OX negativo. ¿Qué signo tiene la T.V.M.? ¿Cómo relacionas el signo de la T.V.M. con el crecimiento o decrecimiento de una función?

EJERCICIOS.

1. Completa en tu cuaderno la siguiente tabla con la determinación de las tasas de variación media correspondientes:

2. Un país desea enviar un satélite artificial al espacio. El cohete que lo transportará llevará una ecuación de movimiento e(t)=3t²+8t, siendo e el espacio recorrido en km, desde la superficie terrestre, y t el tiempo en minutos, desde que la lanzadera espacial pone en movimiento el cohete. Calcula la velocidad media del cohete en los intervalos [0,3], [2,5], [1,8], [8,12]. Al alejarse de la Tierra el cohete, ¿cómo varía su velocidad? ¿aumenta o disminuye? (Si una función representa el espacio recorrido por un móvil a lo largo del tiempo, la T.V.M. en el intervalo [a,b] representa la velocidad media del móvil entre los instantes t=a y t=b).

De este modo, la T.V.M. se expresaría según la fórmula: 

Aunque la variación media es importante, a veces lo es más la variación en un momento determinado. (Por ejemplo, a la policía de tráfico la importa más la velocidad de un vehículo al atravesar un determinado punto que su velocidad media por hora; esta velocidad puntual es, de hecho, una velocidad media entre dos puntos muy próximos; en la práctica es la que marca el velocímetro en un instante dado).

La tasa de variación instantánea (T.V.I.) en un punto a sería entonces la T.V.M. entre dos puntos a y a+h muy próximos. Se puede obtener tomando intervalos [a,a+h] cada vez más pequeños, o lo que es lo mismo, haciendo que h tienda a 0.

Observa en la siguiente escena la función f(x)=-x²+5x-2, y su T.V.M. en un intervalo [a,a+h]=[1,2] (es decir, h=1).

1.-Disminuye todo lo que puedas el valor de h con el pulsador (verás que el punto a+h se va aproximando cada vez más al punto a). Observa lo que ocurre con las T.V.M. Prueba con distintos valores de a.

2.-Para la función anterior, completa en tu cuaderno la siguiente tabla, con los valores correspondientes de la T.V.M. (introduce directamente los valores de h en la pantalla y pulsa Enter). Para cada a, estas T.V.M. podemos considerarlas como elementos de una sucesión; ¿cuál es el límite de dicha sucesión cuando h tiende a 0? Este límite es la T.V.I. de f(x) en el punto a (escribe las T.V.I. en la última columna).

En las actividades anteriores has llegado a la conclusión de que la T.V.I. de f(x) en el punto x=a es el límite de las T.V.M. cuando h tiende a cero:

Este límite aparece de forma natural en multitud de procesos físicos, biológicos, económicos, ... (en todos aquellos en los que se produce una variación de una magnitud con respecto a otra). Matemáticamente, recibe el nombre de derivada de f(x) en x=a y se denota por f´(a). Por tanto:

3.-Para la función de la escena anterior, ¿cuánto vale f´(1), f´(2) y f´(4)?

4.-Si la función representa el espacio recorrido por un móvil a lo largo del tiempo (e=f(t)), entonces la derivada en el punto a (f´(a)) representa la velocidad instantánea en dicho punto. Suponiendo ahora que la función de la escena es la ecuación de un movimiento, localiza un instante a en el que la velocidad sea nula. ¿En qué punto de la gráfica se halla?

EJERCICIOS.

5. Completa la siguiente tabla según la función f(x)=2x³ para a=1: