DETERMINANTES

Introducción

La idea de determinante es una concreción de la idea de matriz, es decir, no tiene sentido si no es a través de una matriz cuadrada. Se trata de asignarle a cada matriz un valor de R que, de alguna forma, la representa.

Sin embargo, antes de definir lo que es un determinante, necesitamos tener en cuenta algunas definiciones relativas a conceptos que vamos a utilizar en la definición.

Permutación de n elementos.

Una permutación de n elementos es una aplicación biyectiva de  en  de la siguiente forma:

Como el elemento inicial no suele ser importante en una permutación (están ordenados como 1, 2, 3, ...,n) se acostumbra a identificar la permutación con el elemento resultante (la imagen de la aplicación).

Así, (1, 7, 4, 2, 5, 6, 3) es una permutación de 7 elementos, donde, la aplicación es tal que:

No hace falta recordar que las permutaciones de n elementos dan como resultado n! elementos distintos.

Ejemplo: Las permutaciones posibles con {1, 2, 3} son 3! = 6 y son:

Se dice que los elementos h y k de la permutación s  forman una Inversión cuando h < k y s(h) > s(k), es decir, cuando, tras la permutación, se pierde el orden creciente en relación a estos dos elementos.

Ejemplo:

3 y 2 forman una inversión, y 3 y 1 forman otra inversión.

Dada una permutación s, si contamos el n^o de inversiones que hay en ella, podemos indicar el Índice de la permutación de la siguiente forma:

El índice de s  será 1 si el n^o de inversiones es par.

El índice de s  será -1 si el n^o de inversiones es impar.

Se puede resumir así:

Ejemplo: La permutación  (3, 4, 2, 1, 5) tiene índice –1, ya que el n^o de inversiones que tiene esta permutación es 5 (que son 3,2 ; 3,1 ; 4,2 ; 4,1 ; 2,1)

Definición de determinante de una matriz cuadrada.

Dada una matriz cuadrada de orden  n :             A =

Se llama Determinante de A y se representa por |A| ó también  det(A), al número que se obtiene de la siguiente forma:

son las distintas permutaciones de n elemento (es decir, n! elementos)

Por tanto, el determinante de una matriz de orden  n  estará formado por la suma de  n!  sumandos, cada uno de ellos formado por n factores, entre los que figura un solo elemento de cada fila y un solo elemento de cada columna de la matriz.

Vamos a ver qué significa esta definición en matrices de orden pequeño:

q       Determinantes de orden 1:

Si   es una matriz de orden 1,  

El valor del determinante coincide con el valor del único elemento de la matriz.

q       Determinantes de orden 2:

El primer término  lleva signo +  porque la permutación de los índices de las columnas (1, 2) es par.

El segundo término  lleva signo -  porque la permutación de los índices de las columnas (2, 1) es impar.

q       Determinantes de orden 3:

En el desarrollo aparecen 3!=6 sumandos. En cada uno de ellos intervienen 3 factores entre los que hay un solo elemento de cada fila y un solo elemento de cada columna. Cada sumando va precedido del signo + ó – según la paridad de la permutación formada por los índices de columnas. Así, el término  lleva signo menos ya que la permutación (2, 1, 3) es impar.

Para recordar fácilmente la expresión que permite calcular el valor de un determinante de orden 3 se utiliza la regla de Sarrus, que identifica gráficamente cómo elegir los factores:

Si se desean introducir manualmente los valores de los distintos elementos, lo haremos pulsando el botón izquierdo del ratón sobre cualquier punto del módulo Descartes.