Producte Escalar

	PRODUCTE ESCALAR i ANGLE
	Geometria

1. PRODUCTE ESCALAR DE DOS VECTORS

u . v = |u| . |v| . cos (u,v)

Producte dels mòduls dels vectors u i v pel cosinus de l'angle que formen.

El resultat del producte escalar és un nombre i no un vector ja que |u|, |v| y cos (u,v) són nombres.

En la següent escena pots moure amb el ratolí els extrems dels vectors u i v, veuràs com canvien els mòduls |u| ,|v| i l'angle A que formen i el seu angle. Per últim podràs veure el producto escalar dels dos vectors u.v

1.- Comprova que si u=0 o v=0, aleshores u.v=0

2.- Comprova que si u és perpendicular a v, u.v=0, on u ≠ 0 i v ≠ 0, doncs A=90º, i el cos90º=0

3.-Comprova la propietat commutativa
u.v = v.u

4.- Comprova la propietat associativa
a(u.v) = (au).v
a=número
u=vector
v=vector

5.- Propietat distributiva:

u. (v + w) = u.v + u.w

Si mous els extrems dels vectors u, v i w, podràs comprovar aquesta propietat.

2. EXPRESSIÓ ANALÍTICA DEL PRODUCTE ESCALAR

Si les coordenades dels vectors u i v són:

u (u₁,u₂)

v(v₁,v₂)

el producto escalar queda així

u.v = u₁.v₁ + u₂.v₂

Podràs comprovar-lo en l'escena següent, movent els extrems dels vectors u i v (o canviant els valors de les coordenades dels botons inferiors ), veient el valor de les seves coordenades i del seu producte escalar u.v

6.- Comprova les propietats dels exercicis 1 i 2 del producte escalar:

6.1.- Mou l'extrem de u fins que les seves coordenades siguin (0,0), o bé introdueix els valors (0,0) en els botons inferiors de l'escena, per comprovar la propietat de l'exercici 1.

6.2.- Després de donar al botó d'inici, escriu en el teu full les coordenades de u i v i les operacions necessàries per obtenir el producte escalar u.v

6.3.- Amb els botons inferiors de l'escana, canvia les coordenades dels vectors per tal que siguin perpendiculars

6.4.- Escriu en el teu quadern les coordenades escollides i el càlcul del producte escalar u.v

3. ANGLE DE DOS VECTORS

Per trobar l'angle entre dos vectors, primer buscarem el cosinus de l'angle que formen i amb el reultat trobarem l'angle corresponent.

De la definició de producte escalar: u.v = \|u\|.\|v\|.cos(u,v)	Es dedueix que:
I si utilitzem les coordenades:

7. Amb els vectors u i v de l'escena de l'exercici 6 ja vam veure quant valia u.v, calcula ara en el teu full:
a.- |u|

b.- |v|

c.- cos (u,v) i l'angle (u,v)

Pots comprovar les solucions d'aquest exercici en la següent escena:

	Ángela Núñez Castaín ( adaptat per Maria Rosa Latorre i Sarlé)

	© Ministerio de Educación. Año 2010

Los contenidos de esta unidad didáctica están bajo una licencia de Creative Commons si no se indica lo contrario.