POSICIÓ RELATIVA DE DUES RECTES 

( Part 1: En funció del vector director)

Geometria

5.  PARAL·ELISME I PERPENDICULARITAT DE RECTES

Dues rectes són paral·leles si tenen la mateixa direcció.

Dues rectes són perpendiculars si formen divideixen el pla en 4 parts iguals ( formen 4 angles rectes)



Tant si tenim les equacions de les rectes en forma vectorial, paramètrica o contínua podem trobar fàcilment un punt i el vector director de la recta.


EQUACIÓ

PUNT

VECTOR DIRECTOR

Equació vectorial

OX = p+t.d

P = (p1, p2)

d= (d1, d2)

Equacions paramètriques



Equació contínua





Aleshores, si (d1, d2) és un vector director de r

  • Qualsevol recta amb vector director (d1, d2) o proporcional a ell, (kd1, kd2), k ¹ 0, és paral·ela a r o coincideix amb r

  • Qualsevol recta amb vector director (d2, -d1) o proporcional a ell, (kd2, -kd1), k¹ 0, és perpendicular a r



EXERCICI 1

En aquesta escena tenim una recta r  i un punt qualsevol P.

El punt conegut de r és Q(a,c) i el seu vector director d(b,d).

Veiem també que estan dibuixades una recta paral·lela i una altra perpendicular a r que passen per P.

1.- Escriu en el teu full les equacions d'una recta paral·lela i una altra perpendicular a r , que passen per  P (9,3) .

2.- Comprova el resultat en l'escena, canviant el punt P, arrossegant-lo amb el ratolí i canviant els valors de a, b, c y d, amb els botons inferiors.

5.1. POSICIONS RELATIVES DE DUES RECTES MITJANÇANT SISTEMES

Donades les rectes 

r1:  i r2: 

Per determinar la seva posició relativa de r1 i r2 , cal resoldre el sistema d'equacions amb dues incògnites, t i s. Primer de tot, Igualem la x i la y de les dues rectes utilitzant paràmetres diferents, t i s, per una i altra.



  • Si el sistema resultant té solució única (t0,s0), les rectes es tallen en un punt, que té per coordenades les que s'obtenen quan es substitueix en r1, t per t0, o bé, en r2, t per s0  .

  • Si el sistema resultant no té solució, les rectes són paral·leles.

  • Si el sistema resultant té infinites solucions, són la mateixa recta.



EXERCICI 2

Les rectes que apareixen en l'inici d'aquesta escena són: 

  y 
En ella podem canviar els valors de a, b, c i d, que corresponguin a la recta r1. ( És a dir, el punt de r1 és (a,c)=(5,0) i el seu vector director és (b,d)=(-1,3))

1.- Iguala les x i les y de les dues equacions, anomenant s al paràmetre de r2. Resol el sistema que obtens. T'ha de donar una solució única de de t i s. 



2.- Substitueix t en r1 o s en r2 per trobar el punt P d'intersecció de les dues rectes. La solució la pots trobar a l'escena. Comprova-la.

3.- En els botons inferiors de l'escena, canvia el valor de b, considera b=2, i el de d, l'agafes com d= -3. Què hem canviat a la recta r1?

4.- Com són ara r1 i r2? Resol el sistema de nou com a comprovació.

5.- Ara posa a=1, b=-6, c=3 i d=9 . Què ha passat? Resol el sistema ara. 

6.- Com sempre, pots canviar els valors de a, b, c i d, com vulguis i aniràs veient l'efecte en l'escena.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ángela Núñez Castaín ( adaptat per Maria Rosa Latorre i Sarlé)

 

© Ministerio de Educación. Año 2010

 

 

Licencia de Creative Commons
Los contenidos de esta unidad didáctica están bajo una licencia de Creative Commons si no se indica lo contrario.