SOLUCIONS DELS PROBLEMES 

Geometria

PROBLEMA 1 

Els punts P(2,-4) i Q(6,0) són vèrtexs consecutius d'un paral·lelogram que té el centre en l'origen de coordenades. Troba:
a) Els altres dos vèrtexs
b) Els angles del paral·lelogram  

Recorda que les diagonals d'un paral·lelogram es tallen en el seu punt mig i que aquest punt és el centre del paral·lelogram. 

1.- Canvia les coordenades dels vèrtexs R i S, de tal forma que el quadrilater PQRS sigui un paral·lelogram de centre l'origen O. D'aquesta manera ja trobes les coordenades dels vèrtexs R i S 

2.- Calcula el cosinus de l'angle que formen els vectors RP i RS, i posteriorment aquest angle.

3.- Comprova el resultat en l'escena.

PROBLEMA 2  

Un rombe ABCD té un vèrtex en l'eix d'ordenades; els altres dos vèrtexs oposats són B(3,1) i D(-5,-3). Troba les coordenades dels vèrtexs A i C, i l'àrea del rombe.

Recorda que les diagonals dels rombe es tallen perpendicularment en el seu punt mitjà.
També has de recordar que l'àrea d'un rombe és: 

Passos a seguir:
1.- Troba l'equació de la recta AC, de la que coneixem el punt M (punt mig de BD) i el vector director AC (perpendicular al vector BD)

2.- El punt A, pertany a la recta AC i sabem que es troba en l'eix de coordenades.

3.- Troba les coordenades del punt C, sabent que els vectors AM i MC són iguals.

4.- Troba les longituds de les diagonals AC i BD per aplicar la fórmula del àrea del rombe.

Evidentement el quadrilater ABCD representat en aquesta escena no és un rombe. 

Pots canviar l'ordenada del punt A, i les coordenades del punt C, per aconseguir que ho sigui. 

Si ja has solucionat el problema, pots comprovar les teves solucions a l'escena.

Nota: L'àrea que apareix no és correcta fins que efectivamente el quadrilàter sigui un rombe .

PROBLEMA 3

La recta 2x + y - 4 = 0 és la mediatriu d'un segment que té un extrem en el punt (0,0). Troba les coordenades de l'altre extrem.

En aquesta escena pots canviar les coordenades del punt A, que és el que demana el problema.
La recta donada r: 2x+y-4=0, al ser la mediatriu del segment OA,  el talla en el seu punt mig, M.

Però això no és suficient, a més, r ha de ser perpendicular a OA. Per tant l'escena en el seu inici no ens dóna les coordenades de l'extrem A del segment demanat. 

Hauràs de trobar l'equació de la recta perpendicular a r que passa per O, que serà on es trobi A. 

Després de trobar el punt d'intersecció d'aquesta recta amb r, que serà M. 

I per últim trobar A, tenint en compte que   OA = 2 OM

PROBLEMA 4

La recta x + y - 2 = 0 i una recta paral·lela a ella que passa pel punt (0,5) determinen, conjuntament amb els eixos de coordenades, un trapezi isòsceles. Troba la seva àrea.

Recorda que un trapezi és un quadrilater que té els dos costats paral·lels i els altres dos no. I que si és isòsceles, els costats no paral·lels són iguals.

L' àrea d' un trapezi és  , on B=base gran ( costat paral·lel gran), b=base petita (costat paral·lel petit) i h=altura (longitud del segment perpendicular a les dues bases)

En aquesta escena està dibuixada la recta donada x+y-2=0, i una recta que passa pel punt P(0,5). Però no és paral·lela a la donada, pel que el quadrilàter que està dibuixat no és un trapezi.

1.- Primer tindràs que trobar l'equació de la recta paral·lela a la x+y-2=0, i que passa per P(0,5) 

2.- Coneixent el pendent, m, d' aquesta recta, i que passa per P(0,5), pots trobar la seva equació. 

3.- La intersecció de les dues rectes amb els eixos et permet conéixer les coordenades dels quatre vèrtexs del trapezi. 

4.-Pots introduir el valor de m en l' escena. D' aquesta forma el quadrilàter ja és un trapezi, i a més isòsceles. I de pas veure si tens correctament calculada l'equació de la recta i les coordenades dels vèrtexs. Veuràs que en l'inici, els angles que formaven el segment AB amb les rectes (bases), no eran els dos de 90º. Però al posar les rectes paral·leles, si ho són. 

5.- Ara només et falta trobar les longituds de les dues bases (distància entre dos puntos), i l'altura (distància d'un punto a una recta), per trobar l'àrea. Podràs comprovar el seu valor a l'escena.

Nota: El valor de l'àrea que surt a l'escena no correspon amb la del quadrilater inicial, sinó que serà el valor que surti quan sigui un trapezi . 

Ángela Núñez Castaín (adaptada per Maria Rosa Latorre i Sarlé)

© Ministerio de Educación. Año 2010