9. Volumes de esferas, cilindros e conos.

Xeometría

 


5. AMPLIACIÓN: DEDUCCIÓN DA FÓRMULA DO VOLUME DA ESFERA.

Na imaxe temos unha esfera, un dobre cono e un cilindro. Todos teñen o mesmo raio, a altura de cada cono é igual ao raio, e a altura do cilindro é igual ao diámetro. Arquímedes descubriu que se lles seccionamos por un plano horizontalmente a
área da sección da esfera máis a do cono é igual á do cilindro.

 

Pica sobre os triángulos de abaixo ou mantenlos presionados varios segundos para subir ou baixar o plano que secciona as figuras.



r é o raio nas tres figuras.
a
é o raio da sección na esfera.
b é a distancia en vertical ao centro.
Neste cono se cumpre que o raio da súa sección coincide coa distancia ao centro, xa que a inclinación da xeratriz é 45º

Área da sección da esfera = π · a2

Área da sección do cono = π · b2

Área da sección do cilindro = π · r2

Se sumamos as dúas expresiones primeiras e aplicamos o teorema de Pitágoras no triángulo rectángulo da primeira figura
π · a2 + π · b2 = π · (a2 + b2 ) = π · r2

Isto tamén demostra que o volume da esfera máis o volume dos conos é igual ao volume do cilindro.


Baseándote en elo deduce a ecuación do volume da esfera.

Esta propiedade tamén nos aporta un método para achar o volume dun segmento esférico.
O segmento esférico é a parte de esfera que está entre dous planos paralelos. Para achar o seu volume bastaríanos para achar o volume da parte correspondente de cilindro e restarlle a parte correspondente dos conos.

Busca información sobre Arquímedes e escríbea no teu caderno.


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  Unidade de Eduardo Barbero Corral traducida por Paula Blanco Mosquera

 

© Ministerio de Educación. Año 2006

 

 

Licencia de Creative Commons
Los contenidos de esta unidad didáctica están bajo una licencia de Creative Commons si no se indica lo contrario.