9. Volumes de esferas, cilindros e conos.

Xeometría

4. AMPLIACIÓN: DEDUCCIÓN DA FÓRMULA DA SUPERFICIE DA ESFERA.

Chámase zona esférica á superficie esférica comprendida entre dous planos paralelos.

Na imaxe temos unha esfera e un cilindro. Todos teñen o mesmo raio e a altura do cilindro é igual ao diámetro.

Arquímedes descubriu que se os seccionamos horizontalmente por dous planos paralelos, a área da zona esférica é igual á correspondente na superficie lateral do cilindro.

Para demostralo imos a considerar unha franxa moi estreita.

r é o raio nas dúas figuras.
a é o raio da zona esférica.
z é a anchura da banda de zona esférica.
c é a anchura da banda de superficie lateral do cilindro, é a separación que hai entre os planos paralelos.

Os triángulos rectángulos de cor azul claro e amarelo son semellantes porque as súas hipotenusas son respectivamente perpendiculares, igualmente o son seus catetos. Seus ángulos son iguais e seus lados proporcionais.

Consideremos a razón hipotenusa/cateto menor
r/a = z/c

Produto de medios = produto de extremos
a · z = r · c

Para achar a superficie dunha banda, ao ser moi estreita abóndanos con multiplicar a lonxitude da súa circunferencia · ancho
Área da banda de zona esférica
= 2 · π · a · z
Área da banda de superficie lateral de cilindro
= 2 · π · r · c
Observa os factores destas ecuacións e os da igualdade anterior.

Baseándote nesto deduce a ecuación da área da zona esférica , coñecendo os datos do raio da esfera e a distancia de separación dos planos que a limitan.

  Unidade de Eduardo Barbero Corral traducida por Paula Blanco Mosquera

© Ministerio de Educación. Año 2006