| El resultado que seguro has observado
se puede expresar como el enunciado del:
Teorema
del resto:
" El resto de la división
de un polinomio P(x) entre un binomio de la forma (x - a),
es igual al valor numérico del polinomio cuando x toma el
valor "a" que podemos expresar como P(a) "
| Ejercicio 11.-
Calcula el valor numérico del polinomio x3
+ 6x2 - 3x - 4 en los casos:
x = 0 ; x = -2 ; x = 1. Realiza
la división del polinomio por el binomio del tipo (x
- a) adecuado, comprobando que el resto de la división
coincide con el valor numérico calculado antes.
" Utiliza la escena anterior,
cambiando adecuadamente los valores de coeficientes
y "a" para comprobar los resultados"
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| 10.- FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS |
Una aplicación muy importante de la división
de polinomios es la factorización de polinomios, y en concreto
conseguir factores del tipo (x-a).
Ej. 17.- Si se realiza
el producto (x-2)·(x+3) se obtiene el polinomio x2
+ x - 6, por lo que puede expresarse dicho polinomio como
producto de factores: x2 + x - 6 = (x-2 ) · (x+3)
Conseguir, cuando sea posible, expresar
un polinomio como producto de binomios de primer grado, en
principio del tipo del ejemplo, o al menos algún binomio de
ese tipo, es lo que se denomina "factorizar el
polinomio".
Para conseguir factores del tipo mencionado
(x - a), bastará encontrar valores de "a" para los
que la división, que se efectúa por la regla de Ruffini, sea
exacta, o sea que el resto sea 0 y aplicar que:
"Dividendo = divisor ·
cociente + resto" o D = d · c + r, con
lo que quedaría D = d · c que en términos de polinomios con
la variable x, se puede expresar: D(x) = d(x) · c(x) obteniéndose
ya el polinomio dividendo descompuesto en dos factores.
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Ej. 18.- Dado
el polinomio 2x3 + x2 - 5x + 2 ,
utiliza la escena adjunta para encontrar valores de "a"
para los que el valor numérico del polinomio sea 0.
Asigna a los coeficientes los valores
adecuados.
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Habrás podido observar que en
todos los casos en los que el valor numérico ha sido 0, la
división del polinomio por "x - a" es exacta (teorema
del resto).
Si has probado bien, habrás encontrado
que el valor numérico era 0 para x = 1 (a = 1) y para x =
-2 . ¿cuál es el cociente para a = 1?
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Utiliza de nuevo la escena con
los coeficientes del cociente obtenido cuando a = 1:
2x2 +3x - 2 (observa que al ser un polinomio
de segundo grado puedes tomar como primer coeficiente
c1 = 0). Ahora para a = -2. Encontrarás el nuevo cociente
que ya será un polinomio de primer grado (2x - 1). Por
tanto el polinomio factorizado será:
2x3 + x2
- 5x + 2 = (x - 1) (x + 2) ( 2x - 1)
Ejercicio 12.-
Expresar como producto de factores el polinomio: x4
- 4x3 + x2 + 6x
Para poder utilizar la escena anterior
,téngase en cuenta que en este caso un factor es evidentemente
x: "factor común", y después ya se obtiene
un polinomio de tercer grado.
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Una regla muy útil: Los valores
de "x = a" enteros, para los que el valor numérico
de un polinomio es cero, son siempre divisores del término
independiente del polinomio.
Con esta regla es más fácil buscar los
valores de "a". Así en el ejemplo 18 sólo pueden
ser 1, -1, 2 y -2.
Puedes volver a la última escena y realizar
todas las pruebas que desees para comprobar esta regla.
| 11.- APLICACIONES Y EJERCICIOS FINALES |
Resolución de ecuaciones de grado 2 o superior.
Ej. 19.- En el apartado
anterior hemos visto que el polinomio seguiente se factoriza:
2x3 + x2
- 5x + 2 = (x - 1) (x + 2) ( 2x - 1)
También hemos visto que el valor numérico
de dicho polinomio para x = 1 y x = -2 es 0 por tanto si escribimos
la ecuación:
2x3 + x2 - 5x + 2
= 0, sabemos que dos soluciones de la misma son x = 1 y x
= -2.
Estos valores de x se llaman "raices del polinomio", que son por tanto soluciones
de la ecuación P(x) = 0.
Además de la ecuación: 2x3 +
x2 - 5x + 2 = (x - 1) (x + 2) ( 2x - 1) = 0 se
obtiene, además de las dos soluciones anteriores la solución
2x - 1 = 0 ; x = 1/2 = 0.5.
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En la escena se observa la ecuación
resuelta gráficamente, así como la regla de Ruffini aplicada
para la solución
x = 0.5.
Pueden comprobarse también las
otras dos soluciones.
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Resumen:
Dado un polinomio P(x) las siguientes afirmaciones son
equivalentes:
- El valor numérico
para x = a es 0 o sea P(a) = 0
- La división del
polinomio P(x) entre el binomio (x - a) es exacta
- (x - a) es un factor
del polinomio: P(x) = (x - a) C(x), siendo C (x) el
cociente de P(x) : (x-a)
- La ecuación P(x)
= 0 tiene una solución para x = a.
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| Ejercicio 13.-
Factorizar los siguientes polinomios comprobando las cuatro
afirmaciones anteriores,
(Puede utilizarse la escena anterior
como ayuda)
a) x3 + 2x2
- x - 2
b) x4 - 1
c) x4 + 10x3
+ 35x2 - 50x + 24 (Una raíz es x = 4)
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