Sabemos que 7² =49. Esta igualdade podémola expresar tamén como

e lese 7 é igual á raíz cadrada de 49. En xeral, defínese a raíz cadrada dun número a como outro número b tal que b² = a.

Igualmente, defínese raíz n-sima dun número a ao número b tal que bⁿ = a

E escribimos:

É importante precisar que non todos os números posúen raíces. As raíz cadrada de -4 non existe, pois o cadrado de calquera número, sexa positivo ou negativo, sempre é positivo. Pola mesma razón non existe a raíz cadrada de ningún número negativo nin a raíz de índice par de ningún número negativo

15. Recordando a lista dos cadrados e dos cubos perfectos, calcula as seguintes raíces:

Comproba os teus resultados na seguinte escena.

Fixándonos no primeiro exemplo anterior é razoable definir:

16. Escribe as seguintes potencias de expoñente fraccionario en forma de raíces. Calcula o valor da potencia. Utiliza a seguinte escena para comprobar o seu resultado. Aumenta o número de decimais cando sexa necesario.

a) 16^3/4 b) 27^{2/3 c)} 125^4/3

d) 64^5/6 e) 100^-3/2 f) 8^-2/3

Comproba os teus resultados na seguinte escena.

As potencias de expoñente fraccionario verifican as mesmas propiedades que as potencias de expoñente enteiro. Repasémolas unha a unha:

Produto de potencias da mesma base.

O produto de dúas potencias da mesma base é outra potencia da mesma base o expoñente da cal é a suma dos expoñentes dos factores

a^m * aⁿ = a^m+n

A regra anterior é certa calquera que sexa a base e os expoñentes m e n, tanto se son positivos como negativos, enteiros ou fraccionarios.

17. Escribe no teu caderno os seguintes produtos en forma de potencia:

a) 2^3/5 * 2^7/2
b) 3^5/2 * 3^2/3
c) 5^2/5 * 5^2/3
d) 2^-3/10 * 2^2/5
e) 3^-5/2 * 3^-2/3
f) 10^-1/5 * 10^1/3

Comproba os teus resultados na seguinte escena.

Cociente de potencias da mesma base.

De xeito similar ao produto, podes deducir a seguinte regra xeral que é válida tanto para expoñentes positivos como negativos:

O cociente de dúas potencias da mesma base é outra potencia da mesma base o expoñente da cal é a diferenza entre o expoñente do dividendo e o do divisor.

a^m: aⁿ = a^m-n

18. Escribe no teu caderno os seguintes cocientes en forma de potencia:

a) 2^7/3 : 2^4/3
b) 3^1/5 : 3^2/3
c) 5^1/6 : 5^1/3
d) 64^3/2 : 64^-1/3
e) 3^-1/2 : 3^3/2
f) 8^-4/3 : 8^-5/3

Comproba os teus resultados na seguinte escena.

Potencia dun produto.

A potencia dun produto é igual ao produto das potencias

(a*b)^m = a^m * b^m

19. Expresa en forma de produto de potencias os seguintes expresións:

a) (2*5)^1/6
b) (3*4)^3/2
c) (2*8)^2/3
d) (4*6)^3/4
e) (2*5)^-1/2
f) (3*2)^-2/3
g) (2*5)^-5/3

Comproba os teus resultados na seguinte escena.

Potencia dun cociente.

De xeito similar ao caso da potencia dun produto

A potencia dun cociente é igual ao cociente entre a potencia do dividendo e a do divisor<

(a/b)^m = a^m / b^m

20. Expresa en forma de cociente de potencias os seguintes expresións:

a) (18/2)^5/6
b) (64/4)^1/2
c) (75/5)^2/3
d) (12/3)^3/4
e) (18/2)^-2/3
f) (32/4)^-3/2
g) (81/27)^-1/3
h) (32/9)^-1/4

Comproba os teus resultados na seguinte escena.

Potencia dunha potencia.

Unha potencia elevada a un número é igual a outra potencia da mesma base e o expoñente da cal é igual ao produto do expoñente da potencia polo número ao que se eleva:

(a^m)ⁿ = a^m*n

21.Escribe no teu caderno as seguintes potencias en forma de potencia cun só expoñente:

a) (2^1/3)⁷
b) (3⁵)^1/3
c) (5^1/5)^1/3
d) (2^-3/2)⁴
e) (3^3/4)^-1/4
f) (25^-1/2)^-3

Comproba os teus resultados na seguinte escena.

22. Baséate nas propiedades anteriores para enunciar as propiedades das raíces e as operacións.