Sistema de referencia en el plano

y

Aplicaciones de los vectores a problemas geométricos 
Geometría
 
1. sistema de referencia en el plano
Es un conjunto R = {O, (x,y)}  O punto fijo, llamado origen
 (x,y) base

 
A CADA PUNTO P DEL PLANO se le asocia SU VECTOR POSICIÓN OP QUE TIENE UNAS COORDENADAS

El punto P da lugar al vector OP 

El vector OP tiene de coordenadas (4,3) respecto de la base B(x,y) 

El punto P tiene de coordenadas (4,3) respecto del sistema de referencia R .
 

1.-Cambia los valores de a y b y puedes ver cómo a otro punto P, corresponde otro vector OP. 

2.- Observa cómo las coordenadas de OP(a,b), siempre serán las coordenadas de P(a,b).
2.   Aplicaciones de los vectores a problemas geométricos
2.1 COORDENADAS DEL VECTOR QUE UNE DOS PUNTOS DADOS POR SUS COORDENADAS
En esta escena hay tres vectores que cumplen: OA + AB = OB. Por tanto: AB = OB - OA  y puesto que

coordenadas de OA = coordenadas de A  y coordenadas de OB = coordenadas de B resulta que:

coordenadas del vector AB = coordenadas de su extremo B - coordenadas de su origen A

Compruébalo moviendo los puntos A y B en la escena

En esta escena el movimiento de estos puntos lo hemos limitado para que el vector AB siempre tenga la misma dirección

EJERCICIO 1

1.- En el inicio de la escena vemos que AB = (3,-6) ¿Cuáles son  las coordenadas del vector BA? Anótalo en tu cuaderno.
Ayuda: Coloca el punto A donde está el B y viceversa

2.- Ahora le vas a dar a las coordenadas de los puntos A y B los distintos valores que se muestran a continuación. Anótalos, calcula las coordenadas del vector AB en cada caso y después compruébalo en la escena : 

A=(4,8) 
B=(6,4)		   AB=?  A=(8,0) 
B=(5,6)		   AB=? 
A=(5,6) 
B=(7,2)		   AB=?  A=(6,4) 
B=(6,4)		   AB=? 
2.2. COMPROBACIÓN DE QUE TRES PUNTOS ESTÁN ALINEADOS

Los puntos A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3) están alineados siempre que los vectores AB y BC tengan la misma dirección. Esto ocurre cuando sus coordenadas son proporcionales: 

AB = (x2-x1 , y2-y1)   
BC = (x3-x2 , y3-y2)

EJERCICIO 2

1.- En esta escena puedes mover los puntos B y C, para comprobar que las coordenadas de los vectores AB y BC son proporcionales, ya que los puntos A, B y C están alineados. 
Anota en tu cuaderno las coordenadas de A, B y C, la de los vectores AB y BC y la proporción entre las x y las y en el inicio de la escena. 

2.- Calcula las coordenadas de BC si C=(5,2) y A y B no cambian. 

3.- Calcula ahora la razón entre la x de AB y la x de BC.

4.- Calcula también la razón entre la y de AB y la y de BC. Te tiene que dar lo mismo que la razón entre las x. 

5.- Comprueba tus resultados en la escena moviendo el punto C al (5,2)
EJERCICIO 3
En esta escena tenemos tres puntos P(1,4), Q(5,-2) y R(m,n)
Moviendo adecuadamente el punto R, o cambiando los valores de m y/o n, puedes conseguir que los puntos P, Q y R estén en la misma recta azul, o sea, ALINEADOS.

1.- Mueve el punto R para que sea m=6, y esté alineado con P y Q. Anota en tu cuaderno el valor de n obtenido. 

2.- Copia en tu cuaderno estos cálculos. Son los necesarios para hallar el valor de n observado en el apartado anterior: 

PQ=(5-1,-2-4)=(4,-6) 
QR=(6-5,n+2)=(1,n+2) 
 
   n+2= -6/4 ; n= -3.5

3.- Ahora mueve el punto R para que sea n=6, y esté alineado con P y Q. Anota en tu cuaderno el valor de m obtenido. 

4.- Escribe en tu cuaderno los cálculos necesarios para obtener el valor de m que has observado en el apartado anterior. 

5.- Mueve en la escena el punto R en un lugar cualquiera que haga que P, Q y R estén alineados, y después de anotar las coordenadas de R observadas, comprueba con cálculos, que las coordenadas de los vectores PQ y QR son proporcionales.
2.3. PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO
En esta escena aparece una suma de vectores: OA + OB = OS  siendo OS la diagonal del paralelogramo OASB.

Las diagonales se cortan en sus puntos medios. Por tanto: , 

donde A=(x1,y1) y B(x2,y2).

Las coordenadas del punto medio, M, de un segmento de extremos A=(x1,y1), B(x2,y2) son:

Moviendo con el ratón los puntos A y/o B  podrás comprobar cuáles son las coordenadas del punto medio M, del segmento AB en cada caso.

EJERCICIO 4

1.-Calcula en tu cuaderno las coordenadas del punto medio del segmento de extremos A(-3,7), B(7,-1).  

2.-Comprueba el resultado en la escena anterior.
 EJERCICIO 5

1.-Calcula en tu cuaderno el simétrico, P', del punto P(8,4) respecto de Q(4,1)

Ayuda: Q será el punto medio del segmento PP'

 2.-Comprueba el resultado en la escena anterior.
       
           
  Ángela Núñez Castaín
 
© Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2001