CÓNICAS
Geometría
 
1. LA ELIPSE
La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.
En esta escena puedes medir las distancias de varios puntos de la elipse a los focos F y G. Comprueba que la suma de estas distancias siempre es constante.
2. ELEMENTOS DE UNA ELIPSE

En una elipse hay que destacar los siguientes elementos:

  • El eje mayor que es el segmento AA´ cuya longitud se representa por 2a.
  • El eje menor que es el segmento BB´ cuya longitud se representa por 2b.
  • Los focos F y G, y la distancia focal que se representa por 2c.
  • Se denomina eje focal  a la recta que pasa por los focos y eje secundario a la mediatriz del segmento que determinan los focos.
  • El centro de la elipse O es el punto intersección de los ejes.
Sean F y G los focos de una elipse y sea 2a la suma de las distancias de los puntos de la elipse a los focos. La siguiente escena muestra un punto P que cumple la propiedad:

PF + PG = 2a

Ejercicios:

1.-Arrastra el punto P y verás que el rastro que deja es una elipse.

2.-Cambia el valor de a entre 3 y 6, y dibuja las elipses correspondientes. ¿Qué ocurre cuando a=3?

3.-Demuestra que la fórmula de la elipse centrada en el origen es:
3. LA ELIPSE SEGÚN LOS VALORES DE a Y b.

Comprueba en esta escena la fórmula anterior dándole valores a a y b

Ejercicios:

4.-¿Qué ocurre cuando a y b son iguales?

5.-¿Qué ocurre cuando b es mayor que a?

6.-Encuentra la fórmula de la elipse cuyo eje principal es el eje y

4. RELACIÓN FUNDAMENTAL EN LA ELIPSE

a2=b2+c2

Comprueba en esta escena que se cumple que a²=b²+c² para varios valores de a y de c

Ejercicios:

7.-Demostrar esta ecuación, observando para ello el triángulo rojo de la escena.

5. EXCENTRICIDAD

La excentricidad de una cónica, representada por e, es el cociente entre la distancia focal y la longitud del eje principal. Como la distancia focal es 2c y la longitud del eje principal 2a, la excentricidad es e=c/a.

Veamos en esta escena qué ocurre con la excentricidad en las elipses.

Ejercicios:

8.-Da varios valores a c y comprueba qué ocurre con la excentricidad. ¿Entre que valores está la excentricidad en la elipse?

9.-¿Qué ocurre con la elipse cuando la excentricidad se aproxima a cero?

10.-¿Qué ocurre cuando e se aproxima a uno?

  ÍNDICE   CIRCUNFERENCIA   HIPÉRBOLA (I)  
           
  Antonio Caro Merchante
 
© Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2001