En cursos anteriores se ha estudiado la dependencia e independencia lineal de vectores. Recordemos algunas nociones:

1º En  R²  dos vectores  u = (a , b)  y  v = (c , d)  son linealmente independientes cuando no son proporcionales, es decir, no existe ningún número real  β  que verifique:  u = β . v.

Ejemplo:  u = (3 , 5)   y   v = (9 ,  6)  son linealmente independientes puesto que no son proporcionales.

2º En  R²  dos vectores  u = (a , b)  y  v = (c , d)  son linealmente dependientes cuando son proporcionales, es decir, existe un número real  β  que verifica:  u = β . v.

Ejemplo:  u = (3 , 5)   y   v = (9 ,  15)  son linealmente dependientes puesto que son proporcionales:  v = 3 . u

3º En  R³  tres vectores  u = (a , b, c),   v = (r , s , t)   y   w = (x , y , z)  son linealmente independientes cuando ninguno de ellos se puede escribir como combinación lineal de los restantes, es decir, no existen números reales  δ  y  β  que verifiquen: u = δ . v + β . w.

 Ejemplo:  u = (1 , 2 , 3),   v = (3 , 5 , 7)  y   w = (4 , 6 , 5)  son linealmente independientes puesto que no existen números reales    δ  y  β  que verifiquen:  u = δ . v + β . w. Si existieran tales números se cumpliría:

(1 , 2 , 3) = δ . (3 , 5 , 7) + β . (4 , 6 , 5),  es decir,  (1 , 2 , 3) = (3δ , 5δ , 7δ) + (4β , 6β , 5β), o lo que es lo mismo:

1 = 3δ + 4β;   2 = 5δ + 6β;   3 = 7δ + 5β;   pero este sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas es incompatible, es decir, no tiene solución, lo que es equivalente a decir que no existe los números  δ  y  β   que verifiquen esa igualdad

4º En  R³  tres vectores  u = (a , b, c),   v = (r , s , t)   y   w = (x , y , z)  son linealmente dependientes cuando alguno de ellos se puede escribir como combinación lineal de los restantes, es decir, existen números reales  δ  y  β  que verifican:  u = δ . v + β . w.

Ejemplo:  u = (18 , 28 , 29),   v = (3 , 5 , 7)  y   w = (4 , 6 , 5)  son linealmente dependientes puesto que existen números reales  δ  y  β  que verifican:  u = δ . v + β . w.

(18 , 28 , 29) = δ . (3 , 5 , 7) + β . (4 , 6 , 5),  es decir,  (18 , 28 , 29) = (3δ , 5δ , 7δ) + (4β , 6β , 5β), o lo que es lo mismo:

18 = 3δ + 4β;   28 = 5δ + 6β;   29 = 7δ + 5β;    Resolviendo este sistema se obtiene:  δ = 2   y  β = 3.  Por lo tanto:

(18 , 28 , 29) = 2 . (3 , 5 , 7) + 3 . (4 , 6 , 5)

5º En general, un conjunto de vectores es linealmente independiente cuando ninguno de ellos se puede escribir como combinación lineal de los restantes y es linealmente dependiente cuando sucede lo contrario, es decir, cuando alguno de ellos se puede escribir como combinación lineal de los demás.

En una matriz se puede considerar que las filas (o las columnas) son vectores. Se llama rango de una matriz  A  al número de filas  (o columnas) linealmente independientes. Se representa por  rg (A). En cualquier matriz el número de filas linealmente independientes coincide con el número de columnas linealmente independientes. El valor máximo que puede tener el rango de una matriz es el menor de los números correspondientes al número de filas y columnas, es decir, si una matriz tiene dimensión  3 x 5, el valor máximo que puede alcanzar el rango de dicha matriz es  3  ( pues 3 = mínimo {3 , 5} ).

La matriz  A  tiene rango  3  puesto que ninguna fila o columna se puede poner como combinación lineal de las restantes. En cambio, la matriz  B  tiene rango  2,  ya que las dos primeras filas no son proporcionales, pero la tercera fila es igual a la segunda fila menos el doble de la primera fila, por lo que no puede tener rango  3, ya que la tercera fila es combinación lineal de las otras dos.

El método de Gauss para calcular el rango de la matriz consiste en transformar, mediante determinadas operaciones, la matriz dada en otra, de modo que el elemento  a₁₁ sea distinto de cero, pero todos los de la primera columna que están por debajo sean ceros; el elemento a₂₂ también tiene que ser distinto de cero y todos los de la segunda columna situados por debajo tienen que ser nulos; el elemento  a₃₃ tiene que ser distinto de cero pero todos los elementos de la tercera columna situados por debajo tiene que ser ceros; y así sucesivamente. El proceso termina cuando el elemento  a_nn  sea distinto de cero y no tenga otros elementos debajo. Durante el proceso se eliminarán las filas o columnas con todos sus elementos nulos. El rango de la matriz será el número de filas con algún elemento distinto de cero.

Las operaciones que se pueden realizar en una matriz sin que varíe su rango son:

a) Permutar dos filas o dos columnas.

b) Multiplicar o dividir todos los elementos de una fila o columna por un número real distinto de cero.

c) Sumarle a una fila (o columna) otra paralela a ella.

d) Sumarle a una fila (o columna) otra paralela a ella multiplicada por un número.

e) Suprimir las filas o columnas cuyos elementos sean todos nulos.

f) Suprimir una fila (o columna) proporcional a otra.

En el caso más sencillo de que la matriz sólo tenga dos filas (o dos columnas), será suficiente comprobar si dichas filas (o columnas) son proporcionales. Si son proporcionales el rango es  1  y si no lo son el rango es  2.

La siguiente escena describe el proceso a seguir a través de un ejemplo:

El rango de la matriz  A es  2  pues las filas no son proporcionales.

El rango de la matriz  B  es  1, ya que las filas son proporcionales. La segunda fila es igual a la primera multiplicada por  3.

El rango de la matriz  C  es  4. Podría ser la matriz obtenida al aplicar el método de Gauss. Se muestra una matriz escalonada (en la primera fila no hay ceros, en la segunda hay uno, en la tercera dos ...) en la que las cuatro filas tienen elementos distintos de cero.