SIMETRÍAS: NIVEL AVANZADO
Geometría
 
1. Composición de simetrías AXIALES DE EJES PARALELOS
Al aplicar dos simetrías pueden presentarse varios casos:
  • Que se aplique dos veces la misma simetría, en cuyo caso se trata de la identidad
  • Si dos simetrías tienen ejes paralelos, su composición se convierte en una traslación cuyo desplazamiento es el doble de la distancia entre ejes.
  • Que los ejes se corten, entonces su producto es un giro de centro el corte de los ejes y ángulo el doble del que forman los ejes

En esta escena Descartes vamos a poder estudiar los dos primeros casos ya que se muestran dos ejes r y s paralelos que transforman respectivamente en el triángulo ABC en los A1B1C1 y A2B2C2 respectivamente. La figura roja es la original, el primer eje de simetría es el azul r y el segundo eje es el verde s.
 
 

 
Actividad para experimentar y observar 1.-Mueve los vértices del triángulo rojo y mira como se conserva la forma y el tamaño de los correspondientes. 
   
Actividad para experimentar y observar 2.- Arrastra los ejes en ambos sentidos para comprobar que se cumple la relación entre dimensión del desplazamiento y distancia entre ejes.
   
Actividad para experimentar y observar

3.- Arrastra el eje s hasta situarlo encima del eje r y observa cómo coinciden los triángulos ABC y A2B2C2.
   
Actividad para escribir en las HOJAS DE TRABAJO 4.-Pulsa el botón Inicio y dibuja en tu cuaderno una situación similar a la presentada en la escena. Comprueba que la traslación equivalente es de tamaño doble que la distancia entre ejes. 
   
Actividad para escribir en las HOJAS DE TRABAJO 5.- Investiga qué pasaría si primero se aplicara la simetría de eje s y luego la simetría de eje r. ¿Daría el mismo resultado?
En la próxima escena se representa el resultado de aplicar dos simetrías axiales consecutivas de ejes paralelos a un cuadrilátero cualquiera. La figura roja es la original, el primer eje de simetría r es el azul y el segundo eje s es el verde . Para no complicar más la escena los ejes se mantienen fijos.

Actividad para experimentar y observar

 6.- Como siempre, ve variando la posición de los puntos A, B, C y D. Observa bien lo que sucede. Identifica la figura simétrica a la original resultante al aplicar la composición de las dos simetrías axiales.
   
Actividad para escribir en las HOJAS DE TRABAJO 7.- Coloca la figura original entre los dos ejes de simetría (es conveniente que varíes la escala), trasladando sus cuatro puntos con el ratón. ¿Qué observas?.
   
Actividad para escribir en las HOJAS DE TRABAJO 8.- Haz un dibujo en tu cuaderno de la representación inicial. A continuación repite de nuevo el dibujo, añadiendo un tercer eje de simetría hallando la figura simétrica que falta. En ambos casos, ¿cuál es el resultado de aplicar a una figura cualquiera, una composición de simetrías axiales de ejes paralelos?
En las siguientes escenas se representan dos composiciones de simetrías axiales de ejes paralelos. Los colores usados siguen los mismos criterios que en las escenas de este capítulo, y esta información es vital para llegar a las conclusiones adecuadas que se te piden en los ejercicios siguientes.

 

Actividad para escribir en las HOJAS DE TRABAJO

9.- En las dos escenas ve variando la posición de los puntos de la figura verde (original). Recuerda que la figura naranja es la figura resultante de la aplicación de la composición de aplicaciones. ¿Qué podemos afirmar con respecto al orden de las simetrías axiales en una composición?.
   
Actividad para escribir en las HOJAS DE TRABAJO 10.- En cualquiera de las dos últimas escenas, ¿cuál es la figura simétrica del cuadrilátero turquesa respecto al eje de simetría amarillo?. ¿Qué sucede si a una figura le aplicamos la composición de una simetría axial consigo misma?.
2. Composición de simetrías AXIALES DE EJES  QUE SE CORTAN
En esta otra escena Descartes vamos a poder ver cómo en el caso de que los ejes no sean paralelos, el producto de dos simetrías da lugar a un giro cuyo ángulo es el doble del que forman ambos ejes.
 
Actividad para experimentar y observar 11.- Mueve en la escena descartes los puntos r y s para componer distintas simetrías y observa la magnitud del ángulo de giro obtenido.
En la próxima escena se representa el resultado de aplicar dos simetrías axiales consecutivas de ejes no paralelos a un cuadrilátero cualquiera. En este caso no puedes mover los ejes.
 

 
Actividad para experimentar y observar 12.- Intenta comprobar a qué tipo de movimiento podemos reducir la composición de dos simetrías axiales de ejes incidentes. Para hacerlo manipula cuanto haga falta en la escena correspondiente.
 
       
           
Joaquín Comas Roqueta
 
© Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2007