Expressions algebraiques.
Polinomis
 

Definició i exemples de polinomis

Un polinomi és una expressió algebraica que s'obté en expressar qualsevol suma de monomis no semblants.

Si recordem la suma de monomis, quan aquests no eren semblants, no es podien sumar. En aquest cas el que s'obté és, per tant, un polinomi.

Exemple 8.- Són polinomis les expressions següents:

a) 4ax4y3 + x2y + 3ab2y3

b) 4x4 -2x3 + 3x2 - 2x + 5

En el primer cas el polinomi consta de la suma de tres monomis, cadascun d'ells és un terme del polinomi, té tres termes, cadascun amb diverses lletres, mentre que en el segon cas el polinomi té 5 termes. Si un terme sols consta d'un número se l'anomena terme independent (5 en el cas b i no existeix en el cas a)

Quan un polinomio consta de dos monomis s'anomena binomi: x2y + 3ab2y3 ; 2x + 3 són dos binomis

Quan consta de tres monomis s'anomena trinomi: el cas a) anterior o -2x3 + 3x2 + 5 són dos trinomis.

Amb més de tres termes (monomis) ja s'anomena en general polinomi.

Respecte al grau d'un polinomio, direm que té grau el major dels graus dels monomis que el formen.

Així en el cas a) els graus dels monomis (suma dels exponents de les lletres) són 8, 3 i 6, aleshores el grau del polinomi és 8.

En el cas b) el grau és 4.

Els números que acompanyen com a factors a les lletres (coeficients dels monomis), s'anomenen també coeficients del polinomi: 4 , -2 , 3 , -2 , i 5 respectivament en el cas b).

 

 REALITZA ELS EXERCICIS DEL DOSSIER POLINOMIS 1

 

Suma i resta de polinomis

La suma de polinomis es basa en la de monomis ja vista en aquest tema. Es podran sumar els termes (monomis) que siguin semblants dels polinomis de la suma.

"A partir d'aquest moment treballarem ja sols amb polinomis amb una sola lletra (x) ja que són els més utilitzats en la pràctica "

Exemple 9.- Per calcular la suma dels polinomis:

(4x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + 5 ) + ( 5x3 - x2 + 2x )

És suficient sumar els termes de graus 3, 2 i 1 d'ambdós polinomis i deixar la resta dels termes del primer com estan.

Podem indicar la suma de la següent forma per veure-la millor, fixa't que posem un sota l'altre els monomis del mateix grau, i deixem un buit en el cas que no hi hagi monomi d'aquell grau:

4x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + 5
+
--- 5x3 --- x2 +2x
_____________________
4x4 + 3x3 + 2x2 +
-----5

Per tant: Per a sumar dos o més polinomis se sumen els termes semblants de cadascun d'ells.

Si en lloc de sumar dos polinomis es tractara de restar-los, seria suficient canviar el signe a tots els termes del segon i sumar els resultats.

Exemple 10.- Per calcular la diferència o resta dels dos polinomis anteriors:

(4x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + 5 ) - ( 5x3 - x2 + 2x )

Es calcula la suma: (4x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + 5 ) + ( - 5x3 + x2 - 2x ) = 4x4 - 7x3 + 4x2 - 4x + 5

L'escena següent presenta la suma i la resta de dos polinomis de grau màxim 3, sent possible canviar els coeficients de cadascun d'ells. S'ha de tenir en compte que si un coeficient és 0, el terme corresponent val 0, i per tant no suma ni resta i viceversa, si "falta" un terme podem suposar que el coeficient és 0.

Exercici 6.- Calcula la suma i la resta dels següents polinomis.

a)( - x3 + 5x2 - x + 1 ) + ( 5x2 - x - 3 )

b) ( 6x2 - x + 4 ) + ( 5x3 - x - 1)


La suma del cas a) és la que es presenta en l'escena adjunta. Canvia després els valors dels coeficients (s'anomenen c1 a c4 per al primer polinomi i c5 a c8 per al segon) de l'escena per realizar la resta del cas a) i la suma i resta del cas b).

El coeficient 5 és de grau tres encara que no ho indiqui.

 

REALITZA ELS EXERCICIS DEL DOSSIER POLINOMIS 2

 

Producte de polinomis

Per a multiplicar dos polinomis s'han de multiplicar tots els monomes d'un per tots els de l'altre i sumar els resultats ("Atenció especial al producte de potències de la mateixa base")

Si un dels dos polinomis és un monomi, l'operació és simple com es pot veure en la imatge següent:

En el cas en què ambdós polinomis constin de diversos termes, es pot indicar la multiplicació de forma semblant a com es fa amb nombres de diverses xifres, tenint cura de situar a sota de cada monomi els que siguin semblants.

En la següent imatge es pot veure el producte de dos polinomis de diversos termes.

Exemple 11.-

En la pràctica no sol indicar-se la multiplicació com en aquesta imatge, sinó que solen colocar-se tots els termes seguits i sumar després els que siguin semblants. Així:

Exemple 12.- ( - 2x3 + 3x2 - 2x + 5 ) (x + 1) = (-2x4 +3x3 -2x2 + 5x - 2x3 + 3x2 - 2x + 5) = - 2x4 + x3+ x2 +3x + 5

Divisió de polinomis

La divisió de polinomis, en general es realitza de forma semblant a la de números de diverses xifres, encara que les operacions que realitzem ràpidament amb els números, amb els polinomis les anem indicant. El procés és el següent:

Amb els polinomis dividend i divisor ordenats de major a menor grau (mirar exemple 14):

- Es divideix el primer terme del dividend (4x3) entre el primer del divisor (x2), donant lloc al primer terme del quocient (4x)

- Es multiplica l'anterior terme trobat (4x) pel divisor (x2-x+1)i es col·loca sota del dividend amb els signes contraris (-4x3+4x2-4x), tenint cura que a sota de cada terme es col·loqui un altre semblant.

- Se sumen els polinomis col·locats obtenint-se un polinomi de grau menor a l'inicial (x2-4x+3).

- Es continua el procés fins que el residu (-3x+2) ja no es pugui dividir entre el divisor ja que serà de menor grau.

Normalment es divideixen polinomis amb una sola variable (x) tant en el dividend com en el divisor. En la imatge següent es pot veure una divisió completa:

Exemple 14.-

Com es veu, s'ha obtingut de cocient 4x + 1 i de reste - 3x + 2.

Exercici 9.- Realitzar la divisió del polinomi 3x3 - 2x2 - 4x - 4 entre el binomi x - 2

(S'ha d'obtenir de cocient 3x2 + 4x + 4 i de resto 4)

 

REALITZA ELS EXERCICIS DEL DOSSIER POLINOMIS 3

 

Identitats notables

S'anomenen així a algunes operacions amb polinomis d'especial interès ja que apareixeran freqüentment en els càlculs.

Les més usuals són:

Quadrat d'un binomi: suma (a + b)2 o diferència (a - b)2

Naturalment, quan realitzem un quadrat el que fem és multiplicar el binomi per ell mateix:

(a + b)2 = (a + b ) · (a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

" El quadrat d'una suma és igual al quadrat del primer més dues vegades el primer pel segon més el quadrat del segon "

De manera semblant: (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 ( igual que abans però canviant el signe central).

"En qualsevol cas s'ha de tenir en compte que el primer terme"a" també pot ser negatiu i, per tant, canviar el signe central". "En general es pot considerar sempre com a una suma i per a cada terme assignar-li el signe que el precedeix (vegeu exemple 13 - b)

Exemple 13.-

a) (2x + 3y)2 = (2x)2 + 2 · 2x · 3y + (3y)2 = 4x2 +12xy + 9y2

b) (- x + 3)2 = (-x)2 + 2 · (-x) · 3 + 32 = x2 - 6x + 9

Suma per diferència: es refereix al producte de la suma de dos monomis per la diferència d'ells mateixos:

(a + b) · (a - b) = a2 - ab + ba + b2 = a2 - b2

(a + b) · (a - b) = a2 - b2

Sempre recordem que "suma per diferència és igual a la diferència dels quadrats" .

Altres igualtats importants però menys utilitzades són:

Cub d'una suma: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 +b3

Quadrat d'un trinomi: (a + b + c)2 = a2+ b2 +c2 + 2ab+ 2ac + 2bc

Exercici 7.- Calcula els següents productes notables:

a) (x + 2y)2

b) (2x2 - y)2

"Canvia els coeficients en la part inferior de l'escena i els exponents de les lletres en la part superior per comprovar els apartats a) i b) i altres resultats que desitgis".

Exercici 8.- Calcula els següents productes notables:

a) (2a + 3b) (2a - 3b)

b) (-3a + b2) (-3a - b2)

"Canvia els coeficients en la part inferior de l'escena i els exponents de les lletres en la part superior per a comprovar els apartats a) i b) i altres resultats que desitgis".

 

REALITZA ELS EXERCICIS DEL DOSSIER POLINOMIS 4

 

  Volver al índice   Atrás      
           
  Leoncio Santos Cuervo
 
Ministerio de Educación, Política Social y Deporte. Año 2001