Radicación I

	NÚMEROS COMPLEJOS
	Álgebra

8. RADICACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS

Ya sabes que la operación de radicación es la inversa que la de potenciación.

En esta escena se nos presenta el vector de un número complejo z, y una potencia del mismo, zⁿ.

Veamos que para un único número complejo zⁿ, existen varios complejos z, que al elevarlos a la potencia n, nos da el mismo complejo zⁿ.

Para comprobarlo sigue las siguientes instrucciones:

En el inicio de esta escena tenemos que

(2_30º)³=8_90º

1.- Introduce el valor del argumento de z, A=150º y pulsa la tecla ENTER.

Puedes ver que (2₁₅_0º)³=8_450º=8₉_0º+360º=8₉_0º

2.- Introduce el valor del argumento de z, A=270º y pulsa la tecla ENTER.

Puedes ver que (2₂₇_0º)³=8₈₁_0º=8_90+2·360_º=8₉_0º

3.- En resumen tenemos que:

(2_30º)³=(2₁₅_0º)³=(2₂₇_0º)³=8₉_0º

Observa que si unimos los tres afijos (extremos de los vectores) forman un triángulo equilátero.

¿Qué quiere decir todo esto?

Pues que si hacemos la raíz cúbica de 8_90º, nos dará tres soluciones: 2_30º, 2_150º y 2₂₇_0º

Hemos hecho lo contrario que cuando se eleva un complejo al cubo, hemos hecho la raíz cúbica del módulo, y hemos dividido el argumento por 3.

OTRO EJEMPLO:

1.- Pulsa el botón inicio

2.- Introduce r=1, A=60º, n=4 y a continuación ENTER

3.- Pulsa el botón limpiar

4.- Ahora tenemos que (1_60º)⁴ = 1_240º

5.- Introduce A=150º, ENTER

6.- Ahora tenemos que
(1₁₅_0º)⁴=1_600º=1_240º+360º=1_240º

7.- Introduce A=240º, ENTER

8.- Ahora tenemos que
(1_240º)⁴=1_960º=1_{240º+2·360º}=1_240º

9.- Introduce A=330º, ENTER

10.- Ahora tenemos que
(1_330º)⁴=1₁₃₂₀=1_{240º+3·360º}=1_240º

11.- Por tanto:

De estos dos ejemplos deducimos que la raíz cúbica tiene tres soluciones, y la raíz cuarta, cuatro.

8.1. Raíz cuadrada

Vamos a hallar

1.- Primero pasamos z=4+3i a forma polar:

z=4+3i=5_36.9º

2.- La raíz cuadrada de z, tendrá de módulo la raíz cuadrada del módulo de z y de argumento, el de z dividido por 2.

3.- Las dos soluciones de esta raíz cuadrada son:

Si k=0 --> z1=_18.4º

Si k=1 --> z2=_198.4º

Si le seguimos dando valores a k=2, 3, 4, ... veremos que las soluciones que salen coinciden con las ya mencionadas, después de haber dado 1, 2, 3, ... vueltas a la circunferencia.

Todas estas operaciones que hemos hecho las puedes ver en la escena, y ver como quedan los vectores, tanto de z como de z₁ y z₂

EJERCICIO 15

Calcula en tu cuaderno las dos raíces cuadradas de

a) z=1-i

b) z=-9

c) z=4i

d) z=-2+2i

Después comprueba tus resultados en la escena.

Después de introducir los valores de a y b, debes darle al botón LIMPIAR. Pero cuando cambias de k=0 a k=1 no es necesario, así verás las dos soluciones a la vez.

	Ángela Núñez Castaín

	© Ministerio de Educación, Política Social y Deporte. Año 2001