DEMOSTRACIÓN

Todo punto que pertenece a la mediatriz de un segmento equidista de los extremos de éste

Lee atentamente el enunciado del teorema y escribe en tu cuaderno la tesis.

1. De la hipótesis vamos a deducir los datos.

Observa y manipula la escena hasta encontrar los elementos geométricos que aparecen en la hipótesis.

Aparecen dos puntos A y B.

Puedes moverlos y modificar así la longitud del segmento que determinan.

Para ello haz clic con el ratón sobre cada uno de ellos y sin soltar arrastra al lugar que tu desees.

Observa la recta m y comprueba que es la mediatriz del segmento AB.

Para ello comprueba que es perpendicular al segmento. Utiliza el transportador de ángulos de la escena.

Después debes arrastrar el punto morado del semicírculo hasta la recta.  En ese momento observa en la

esquina superior derecha el valor del ángulo. También debes comprobar que la recta m divide al segmento

en dos partes iguales. Utiliza la regla graduada.

Observa que sobre la mediatriz aparece un punto P, puedes moverlo utilizando los controles de la parte

inferior de la escena.

Estos elementos son los datos del teorema. Anótalos en tu cuaderno.

2. Vamos a deducir las propiedades del punto O. 

Ahora observa el punto O. Es la intersección de la mediatriz m y el segmento AB.

Modifica la longitud del segmento arrastrando los puntos A y B. Fíjate en el calculador de distancias situado en la esquina superior izquierda de la escena.

Escribe en tu cuaderno que propiedad verifica el punto O.

3.Ahora vamos a unir el punto P con el punto A y con el punto B.

Observa la siguiente escena, veras que se han formado dos triángulos. Anota en tu cuaderno cuales son.

4. Vamos a deducir que los triángulos formados son iguales.

Recuerda el segundo axioma de igualdad de triángulos 

"Dos triángulos son iguales si tienen dos lados iguales e igual el ángulo comprendido entre ellos "

Anota en tu cuaderno los lados que tienen respectivamente iguales. 

Observa que un lado es común a ambos.  ¿Cuál es ?

Observa que el ángulo que forman los lados anteriores es igual en ambos. ¿Por qué?

Finalmente aplica el axioma de igual para concluir que los triángulos son iguales.

Ahora recuerda la definición de igualdad de triángulos.

"Dos triángulos iguales tienen iguales sus lados y sus ángulos"

5. Vamos a deducir que el punto P equidista de los extremos del segmento

Que verifican los lados PA Y PB ? 

Compruébalo manipulando la siguiente escena. Para ello debes mover el punto P donde tu quieras y observar que la distancia de PA es siempre igual a la distancia PB.

Compara el resultado que tu has obtenido con la tesis. Es lo que querías demostrar.

Maria Pilar Gistau Calvo

Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2006.