RESOLUCIÓN DE LOS SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS POR LOS MÉTODOS DE IGUALACIÓN Y SUSTITUCIÓN
3º ESO

1.- ESTUDIO DE LA COMPATIBILIDAD DE LOS SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCOGNITAS

     
     Un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incognitas está formado por dos ecuaciones de la forma: 

                                                        a x + b y = c
                                                        d x + e y = f     

donde los coeficientes a, b, d y e de las incognitas y los términos independientes c y f son números reales.


      Una solución del sistema es un par de números x e y reales que al sustituirlos en las dos ecuaciones las cumplen. Cuando un sistema tiene solución se dice que es compatible; en caso contrario será incompatible. Los sitemas compatibles pueden tener una única solución o infinitas soluciones.

     El análisis de las diferntes soluciones de un sistema sería el siguiente:   

                     


  a) Infinitas soluciones, en este caso se llama sistema compatible indeterminado.
      Esto se producirá cuando todos los coeficientes que forman una y otra ecuación sean  proporcionales, es decir :    a/d = b/e = c/f  ( con d#0, e#0 , f#0 )      
       bien a.e = d.b =c.e (Graficamente significaría que ambas rectas son la misma, son coincidentes).

 b)  Solución única en este caso se llama sistema compatible determinado.  Los coeficientes de las incognitas no serán proporcionales , es decir:    a/d # b/e
       ( con d#0 y e#0 )  o bien  a.e # d.b. (Graficamente significaría que ambas rectas se cortan en un único punto)

 c)  No tenga solución, en este caso se llama sistema incompatible.  Los  coeficientes  de  x e y serán proporcionales pero no a los términos independientes, es
      decir : a/d = b/e#c/f ( con d#0, e#0 y f#0)   (Graficamente esto ocurrirá  cuando las dos rectas no tengan puntos comunes es decir sean paralelas)


                                         
                       

     

        Ejercicios:  ( Todos estos ejercicios se realizarán en el cuaderno de trabajo )

  1.- Introduce en la escena los valores de los coeficientes de los siguientes sistemas, apunta en el cuaderno de trabajo  el tipo de sistema que pone en las escena y razona la solución dada en la escena en función de la proporcionalidad o no de los coeficeintes escribiendo como sería ésta proporcionalidad:

           a)  x + y = 12                      b)   x +   y = 3                c)   2x - y = 1                d)   x + 2y  = 3
                x - y =   2                          2x + 2y = 6                      2x - y = 2                      4x +5y =  6

  2.- Escribir dos sistemas compatibles determinados ( única solución). Ayudate de la escena para comprobarlo .
  3.- Escribir dos sistemas compatibles indeterminados (infinitas solución).Ayudate de la escena para comprobarlo.
  4.- Escribir dos sistemas incompatibles ( sin solución).Ayudate de la escena para comprobarlo


   


2.-RESOLUCIÓN ANALÍTICA DE LOS SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCOGNITAS POR EL MÉTODO DE SUSTITUCIÓN  

  Este método consiste en despejar una de las variables de una de las dos ecuaciones del sistema y sustituir la expresión obtenida en la otra ecuación. Así obtenemos una ecuación de primer grado con una sóla variable que despejaremos.   

   Escena :  Aunque en este método podemos elegir una de las dos variables x o y  de una de las  dos ecuaciones,   para realizar los ejercicios con ésta unidad,  elegiremos siempre la variable x de la primera ecuación para despejar y sustituiremos en la segunda ecuación. Los distintos pasos de la resolución se van a obtener pulsando étapas en la escena (1 a 5).
Observa que según vas introduciendo los coeficientes  te indica el tipo de soluciones que tiene el sistema.




 

        Ejercicios:  ( Todos estos ejercicios se realizarán en el cuaderno de trabajo)

1.- Resolver en la escena los siguientes sistemas por sustitución, intentando comprender todos los pasos  que aparecen en ella (pulsar  étapas), hasta llegar a la solución,que apuntareis en vuestro cuaderno.

         a)   x + 3y = 4                            b)       6x + 5y = 23                           c)     3x - 4y = -6
               2x - y = 1                                      -4x+ y = -11                                    2x + 4y = 16

2.- Escribe  tres sistemas de ecuaciones compatibles determinados y   la solución que aparece en escena.

3.- Observa que es lo que ocurre cuando el coeficiente de x es cero (a = 0). ¿Podrías despejar la x como siempre?. Escribe la conclusión.

4.-Observa en la escena que es lo que ocurre al resolver un sistema que te inventes incompatible ( sin solución). Escribe la conclusión.

5.-Observa en la escena que es lo que ocurre al resolver un sistema que te inventes compatible indeternminado (infinitas soluciones). Escribe la conclusión.

6.- Comprueba que los sistemas de primer ejemplo darían  la misma solución si despejaras en  a) la x en la segunda ecuación , en  b)  la y de la primera ecuación y en c) la y de la segunda de las ecuaciones. ( éste ejercicio lo realizarás en casa).

 


    MÉTODO DE IGUALACIÓN                                                                                                                                     

 




  Rosa Mª Hernández Gila
 
Ministerio Educación. Año 2004