EL MÉTODO DE BISECCIÓN.
Una vez sepamos que en un intervalo (a,b) existe una única raíz a de la ecuación f(x)=0, iremos sistemáticamente formando intervalos, cada uno contenido en el anterior y también conteniendo a la raíz de la ecuación, de manera que la longitud de estos intervalos sea cada vez más pequeña.
Para ello suponemos que f es una función continua en el intervalo [a,b] y que la ecuación f(x)=0 tiene una sola raíz en [a,b], de manera que se verificará que f(a).f(b)<0.
| 1.- PASO INICIAL. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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Partimos pues de los puntos A(a,f(a)) y B(b,f(b)). Llamamos a0=a, b0=b, y sea X0=(a0+b0)/2, el punto medio del intervalo. A no ser que X0 sea la raíz buscada a (en nuestro caso no lo es), ésta pertenecerá solamente a uno de los intervalos [a0,X0], [X0,b0]. Más precisamente, pertenecerá a aquel en que el producto de los valores de f en sus extremos sea negativo. En este caso el intervalo será [a0,X0], ya que f(a0).f(X0)<0. EN LA ESCENA En el PASO 0 puedes visualizar los puntos escogidos A0=A y B0=B, cuyas abcisas forman el intervalo [a,b]; el PASO 1 asigna los valores iniciales a0 y b0; y en el PASO 2 puedes ver el punto X0 que aproxima a la raíz buscada a.
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2.- PRIMERA ITERACIÓN. |
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En la primera iteración asignamos los valores a1=a0, b1=X0, y calculamos X1=(a1+b1)/2, repitiendo el proceso anterior. Nuevamente escogemos como intervalo aquel en cuyos extremos la función tome valores con distinto signo. y será el intervalo de menor longitud que el anterior el cual contendrá a la raíz buscada a. En este caso se trata de [a1,X1], ya que f(a1).f(X1)<0. EN LA ESCENA En el PASO 0 visualizas los puntos que dan lugar al nuevo intervalo, A1 y B1; en el PASO 1, asignamos los nuevos valores a los extremos del intervalo [a1,X1]; en el PASO 2 puedes ver el nuevo valor que aproxima la raíz a.
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3.- SEGUNDA ITERACIÓN. |
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En la segunda iteración asignamos los valores a2=a1, b2=X1, y calculamos X2=(a2+b2)/2, repitiendo el proceso anterior. En este caso observamos que este punto X2 ya aproxima bastante bien a la raíz de nuestra función. Podemos, si queremos afinar más, seguir el método, cuidando que en este caso se verifica que f(X2).f(b2)<0, con lo que nuestro nuevo intervalo sería [X2,b2]. EN LA ESCENA En el PASO 0 visualizas los puntos que dan lugar al nuevo intervalo, A2 y B2; en el PASO 1, asignamos los nuevos valores a los extremos del intervalo [a2,X2]; en el PASO 2 puedes ver el valor que definitivamente aproxima la raíz a.
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4.- TABULANDO LA INFORMACIÓN. A la vez que vamos iterando, podemos recoger los resultados en una tabla como la siguiente:
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