MÉTODO DE BISECCIÓN
Bloque :Álgebra

EL MÉTODO DE BISECCIÓN.

     Una vez sepamos que en un intervalo (a,b) existe una única raíz a de la ecuación f(x)=0, iremos sistemáticamente formando intervalos, cada uno contenido en el anterior y también conteniendo a la raíz de la ecuación, de manera que la longitud de estos intervalos sea cada vez más pequeña.

     Para ello suponemos que f es una función continua en el intervalo [a,b] y que la ecuación f(x)=0 tiene una sola raíz en [a,b], de manera que se verificará que f(a).f(b)<0.

1.- PASO INICIAL.

     Partimos pues de los puntos A(a,f(a)) y B(b,f(b)). Llamamos a0=a, b0=b, y sea X0=(a0+b0)/2, el punto medio del intervalo.

     A no ser que X0 sea la raíz buscada a (en nuestro caso no lo es), ésta pertenecerá solamente a uno de los intervalos [a0,X0], [X0,b0]. Más precisamente, pertenecerá a aquel en que el producto de los valores de f en sus extremos sea negativo. En este caso el intervalo será [a0,X0], ya que f(a0).f(X0)<0.

EN LA ESCENA

     En el PASO 0 puedes visualizar los puntos escogidos A0=A y B0=B, cuyas abcisas forman el intervalo [a,b]; el PASO 1 asigna los valores iniciales a0 y b0; y en el PASO 2 puedes ver el punto X0 que aproxima a la raíz buscada a.

Te recuerdo que pulsando con el ratón en cualquier punto de la escena puedes visualizar las coordenadas del mismo y variar el intervalo inicial, aunque los pasos que visualizas corresponden a los valores iniciales.


2.- PRIMERA ITERACIÓN.

     En la primera iteración asignamos los valores a1=a0, b1=X0, y calculamos X1=(a1+b1)/2, repitiendo el proceso anterior. Nuevamente escogemos como intervalo aquel en cuyos extremos la función tome valores con distinto signo. y será el intervalo de menor longitud que el anterior el cual contendrá a la raíz buscada a. En este caso se trata de [a1,X1], ya que f(a1).f(X1)<0.

EN LA ESCENA

     En el PASO 0 visualizas los puntos que dan lugar al nuevo intervalo, A1 y B1; en el PASO 1, asignamos los nuevos valores a los extremos del intervalo [a1,X1]; en el PASO 2 puedes ver el nuevo valor que aproxima la raíz a.

Observa ahora que, tanto en la gráfica como en las coordenadas, se verifica que el intervalo se "estrecha" en torno a la raíz de la función.


3.- SEGUNDA ITERACIÓN.

     En la segunda iteración asignamos los valores a2=a1, b2=X1, y calculamos X2=(a2+b2)/2, repitiendo el proceso anterior. En este caso observamos que este punto X2 ya aproxima bastante bien a la raíz de nuestra función. Podemos, si queremos afinar más, seguir el método, cuidando que en este caso se verifica que f(X2).f(b2)<0, con lo que nuestro nuevo intervalo sería [X2,b2].

EN LA ESCENA

     En el PASO 0 visualizas los puntos que dan lugar al nuevo intervalo, A2 y B2; en el PASO 1, asignamos los nuevos valores a los extremos del intervalo [a2,X2]; en el PASO 2 puedes ver el valor que definitivamente aproxima la raíz a.

 

Observa que simplemente teniendo en cuenta el signo de la segunda coordenada de nuestros puntos verificamos la condición   f(X2).f(b2)<0.

4.- TABULANDO LA INFORMACIÓN.

     A la vez que vamos iterando, podemos recoger los resultados en una tabla como la siguiente:

 

ITERACIÓN (i) ai bi Xi f(ai) f(bi) f(Xi)
0 -2.00 4.00 1.00 4.39 -2.98 -2.63
1 -2.00 1.00 -0.50 4.39 -2.63 -1.35
2 -2.00 -0.50 -1.25 4.39 -1.35 0.49
3 -1.25 -0.50 -0.875 0.49 -1.35 -0.60

 


5.- EJERCICIOS.

     1.- Ve anotando tus propios cálculos en tu cuaderno a medida que descubres el método.

     2.- Cambia los puntos iniciales A0 y B0. Haz tú mism@ los nuevos cálculos, representando en tu cuaderno aproximadamente los resultados, al igual que ves en las escenas.

     3.- Para la tabla anterior, sigue realizando iteraciones hasta que tengas un decimal de la raíz buscada, cómo sabes que es así?

     4.- Repite este método para la función f(x)=cos(x)-x en el intervalo [0.5,Π/2].

 
       
           
  Yolanda Jiménez Carmona
 
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2004