PROGRESIÓN ARITMÉTICA


1.-Concepto y término general

 

1.1.-Marta ha decidido aprovechar su mes de vacaciones para recorrer andando el Camino de Santiago, pero no está "en forma" por lo que decide entrenarse: el primer día camina 3 Km y cada semana aumenta su recorrido  diario en 2 Km . Teniendo en cuenta que quiere recorrer 25 Km diarios, cuántas semanas de entrenamiento necesita?. Al cabo de 10 semanas, cuántos Km diarios será capaz de recorrer?

  • Completa en tu cuaderno la siguiente tabla (añadiendo o eliminando columnas si te hace falta)  para responder a las preguntas :

Semanas .........

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

...........

Km diarios......

    3

    5

............

  • Observa los valores que acabas de obtener: Forman una sucesión en la que cada término se obtiene sumando una cantidad constante al anterior; este tipo de sucesión se llama PROGRESIÓN ARITMÉTICA. La constante que sumamos a cada término para obtener el siguiente, se llama diferencia de la progresión. 

 

1.2.- Completa en tu cuaderno las siguientes igualdades con los términos de una progresión aritmética:

a2= a1+ d  ;   a3=a2+ d=a1+ 2d  ;   a4=a3+d=a1+2d+d=a1+3d ;  a5= ..................;  a6=................. ; an= ?

  • A la expresión de an que acabas de obtener se le llama término general de la progresión.

 Fijando los valores de los parámetros a1 y d, en esta escena (mediante las flechas azul y roja) fijas las características de una progresión aritmética determinada, y podrás obtener todos los términos de la sucesión que quieras al variar el parámetro n.

Escribe en tu cuaderno:

1.3.- Las respuestas a las preguntas de la actividad 1.1 utilizando esta escena.

1.4.-Los diez primeros términos y los términos a33, a44 y a99  de una progresión aritmética en la que:            A) a1=28, d=5          B) a1= 230, d=-2

1.5.- Al menos seis términos de tres progresiones aritméticas con las características que tu quieras procurando condiciones distintas (a1 y d pueden ser positivos o negativos).

Puedes cambiar el valor de a1, d, n usando los pulsadores o escribiendo el número y pulsando la tecla Intro. El botón inicio restaura los valores iniciales.


2. Representación cartesiana

La representación cartesiana de una progresión aritmética es una línea recta: Aplicación entre el conjunto N, de los números naturales y el conjunto R de los números reales.

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 En esta escena vemos los términos de la progresión representados cada uno por un punto. Como en la escena anterior, debes fijar en cada caso los valores del primer término (a1) y de la diferencia (d) de la progresión.

Para representar un término concreto puedes mover el punto fucsia sobre el eje horizontal con el puntero del ratón o pulsar las flechas correspondientes al parámetro n.

Quizá necesites cambiar la  escala (zoom) y mover los ejes (OX, OY) para poder ver otras zonas del plano.

 2.1.- Anota los valores y busca en la gráfica los términos 6, 20, 45,99, 350 y 1100 en las progresiones siguientes:

     A) a1=3, d=5        B) a1=45, d=-2

2.2.- Indica cuáles son las rectas sobre las que se hallan los términos de cada una de las progresiones del apartado anterior y represéntalas en tu cuaderno.


3. Interpolación de medios diferenciales

En la huerta de mi abuelo hay dos perales situados, en línea recta a 20 m y a 200 m de la casa y ahora quiere plantar cinco cerezos situados entre los ciruelos y en línea con ellos, a qué distancia de la casa debe plantar cada uno si quiere que la distancia entre dos árboles sucesivos sea constante?

  • Completa en tu cuaderno la siguiente tabla :

       ÁRBOLES

Peral 1

Cerezo 1

Cerezo 2

Cerezo 3

Cerezo 4

Cerezo 5

Peral 2

 Distancia a la casa en metros

20

200

  • Observa los resultados obtenidos: cuál es la relación entre ellos? qué tipo de sucesión constituyen? por qué?

  • Anota lo que has hecho para obtener las posiciones de los cerezos. Cómo has hallado la distancia constante que debe haber entre dos árboles sucesivos?. 

  • Generaliza: Halla una expresión para la diferencia de la progresión que se forma, en función de los términos primero y último y del n de términos intercalados.

  • Intercalar un número m de términos entre dos conocidos, de modo que todos ellos formen una progresión aritmética  se llama INTERPOLAR; y a los m términos interpolados se les llama medios diferenciales.

Mediante esta escena puedes hallar la diferencia correspondiente a la progresión que se forma al interpolar m medios diferenciales entre a1 y an. Mediante las flechas puedes asignar nuevos valores a a1, an y m cambiando así las condiciones del problema.

3.1.- Utilizando esta escena, interpola 25 medios diferenciales entre 21 y 99; anota en tu cuaderno la progresión que se forma.

3.2.-Cuántos elementos tengo que interpolar entre 2 y 15 para que se forme una progresión con d= 1.63? Escribe dicha progresión en tu cuaderno

 

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    M Antonia Costas Rojo

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