En las siguientes escenas tienes representadas tres funciones reales de variable real. En  cualquiera de ellas puedes desplazar  el  punto de color rojo, x. Con el controlador de nombre epsilon puedes modificar la longitud del intervalo ε.

Como habrás podido ver, el número real L, es el límite de la función , en el  punto a puesto que al tomar valores de x  suficientemente próximos a
 a , sus imágenes, , están tan próximas a L como se desee. La forma de expresarlo es la siguiente:

Intuitivamente significa que si , entonces .

A partir de esta idea intuitiva de límite se puede formalizar utilizando la definición de entorno que ya hemos visto.

Decimos que  si, para cualquier entorno de L  de radio ε, por pequeño que este sea, se puede determinar un entorno de a  de radio δ, tal que, si x  pertenece al entorno de a , entonces  pertenece al entorno de L .

Esta definición la podemos escribir de la siguiente forma:

El límite de una función  cuando x tiende a a es L , si para todo números real , existe otro número real , tal que, si , entonces .

Como podéis ver en el ejemplo 2, no es necesario que a  pertenezca al dominio de . Además, también es posible que   no coincida con L ,  como ocurre en el ejemplo 3.

No obstante, puede suceder que, al tomar valores de x cada vez más próximos a a, el comportamiento de las imágenes, , sea distinto a ambos lados de a e incluso que los valores de las imágenes, , no se aproximen a ningún número. En este último caso, no existe el límite de la función en dicho punto.