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inecuaciones de 2º grado con una incógnita son aquellas que
pueden ponerse en la forma ax2 +bx+c < 0 (*),
siendo a, b y c
números reales
y a distinto de cero.
(*) Puede ser
cualquier otra desigualdad: >, £
ó
³.
Si a<0,
multiplicaremos toda la inecuación por (-1) y tendremos una
inecuación equivalente en la que ya será a>0. Por
ejemplo, la inecuación -3x2
+ 2x -1 < 0 es equivalente
a 3x2
-
2x +1>0.
Pues bien,
supuesto que hemos procedido de esta manera (en caso de ser
necesario), podemos restringir la situación a tres casos
distintos, según se detalla a continuación:
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A.-
La expresión ax2+bx+c
se anula para dos valores distintos:
Ejemplo 6.1.-
Resuelve la inecuación x2 -
2x -3 < 0.
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En esta escena
está representada la gráfica de la función auxiliar y=f(x)=x2 -
2x -3, que nos será de gran ayuda.
Es
una parábola con las ramas hacia arriba (es así siempre que el
coeficiente a sea positivo). Hay dos puntos (de blanco) en los
que la expresión anterior vale 0 (son las abscisas de los
puntos de corte con el eje OX).
Mueve
el punto X a lo largo del eje de abscisas; se irá dibujando
el punto correspondiente en la parábola y el valor de su
ordenada. Si el valor de la ordenada es positivo se dibuja un
segmento verde y si la ordenada es negativa, un segmento rojo;
al mover X, va dejando un rastro (rojo o verde) que nos
permite decidir cuales son los x que hacen que la expresión
y=x2 -
2x -3 sea negativa
y cuales hacen que sea positiva.
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En
nuestro caso, que buscamos las soluciones de la
inecuación x2 -
2x -3 < 0 tendremos que quedarnos con la parte
roja del eje de abscisas, o sea, con el intervalo
abierto (-1,3).
Importante:
Si fuese x2 -
2x -3 £ 0 también incluiríamos los valores x=-1 y x=3
(abscisas en blanco) con lo que las soluciones serían
las del intervalo cerrado [-1,3]
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