Inecuaciones.
3.- Definiciones generales.

 


Las desigualdades son expresiones de la forma A<B, donde A y B pueden ser expresiones numéricas ó algebraicas y el símbolo "<(menor que)" podría ser  >(mayor que) ó  (menor ó igual que)"  ó (mayor ó igual que). A la expresión que hay a la izquierda le llamaremos primer miembro y a la que hay a la derecha, segundo miembro.

Ejemplo: 24-1<10 es una desigualdad "cierta" (equivalente a 7<10). En esta última, el primer miembro es 7 y el segundo 10.

Regla de la suma: Si sumamos (o restamos) una misma cantidad a los dos miembros de una desigualdad, obtenemos otra desigualdad equivalente del mismo sentido. O sea,  A<B  A+C<B+C para cualquier cantidad C.

Si sumamos 2 unidades a los dos miembros de la desigualdad anterior, tendremos que 7+2<10+2, ó sea, 9<12 (cierto).

Restando 3 unidades (por ejemplo) a los dos miembros, tendremos 7-3<10-3, ó sea, 4<7 (cierto).

Regla del producto: Si multiplicamos (o dividimos)  los dos miembros de una desigualdad por una misma cantidad (distinta de cero) , obtenemos otra desigualdad equivalente, del mismo sentido si C>0 y de sentido contrario si C<0. O sea,  A<B  (AC<BC si C es una cantidad positiva ó AC>BC si C es una cantidad negativa).

Si en la desigualdad 7<10 multiplicamos los dos miembros por 2, tendremos que 72<102, ó sea, 14<20.

Si lo hacemos por (-2), tendremos 7(-2)>10(-2), ó sea, -14>-20. (Observa que lo que antes era "<" se ha convertido ahora en ">"; la desigualdad ha cambiado de sentido).

Una inecuación es una desigualdad entre expresiones algebraicas. A las letras de dichas expresiones algebraicas les llamaremos incógnitas, y dependiendo de cuantas haya, diremos que se trata de una inecuación con una, dos, tres,...incógnitas.

Ejemplo: 3x-42 es una inecuación con una incógnita (x).

Los valores de la incógnita(as) que hacen cierta la desigualdad se llaman soluciones de la inecuación. Para la inecuación anterior, x=0 es solución (porque es cierto que 30-42), pero x=3 no es solución (porque no es cierto que 33-42).

Resolver una inecuación consiste en encontrar todas sus soluciones.

Diremos que dos inecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones. Por ejemplo, 3x-42 es equivalente a 3x6 ó a x2.

Podemos utilizar la Regla de la suma y la Regla del producto para transformar una inecuación en otra equivalente más sencilla de resolver.

Por ejemplo:

4x-3 5+2x (Sumando 3 a los dos miembros) 4x 8+2x (Restando 2x en los dos miembros) 4x-2x 8 2x 8 (Dividiendo por 2 en los dos miembros) x 4; luego las soluciones de esta inecuación son todos los números del intervalo (-∞,4].

Nota: Si fuese 4x-3 < 5+2x, la solución sería el intervalo (-∞,4).

En las páginas siguientes aprenderemos a resolver distintos tipos de inecuaciones.

 
  

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  Juan José García Muñoz. Profesor del I.E.S. Sol de Portocarrero. Almería.
 
Proyecto Descartes. Año 2006