Simetrías

	Magic Mirror.
	1º de Bachillerato Tecnológico.

8.- Magic Mirror, versus, función invertida dada una original.

Hemos llegado a lo que creo más interesante de todo lo que llevamos explicando. De entrada, permite que dada cualquier función original, encontrar rápidamente su invertida, también llamada recíproca. Esto es, dada y =f(x), la que convenimos en llamar 1/y = f(x). O lo que es lo mismo, según prescribe el álgebra, y = 1/f(x).

La filosofía es la misma que la de un comienzo, si altero de una ecuación y por 1/y, el efecto que produzco es el siguiente; el conjunto de puntos que verificarán la nueva ecuación (x₁, y₁) coincidirán con los anteriores (x₀, y₀) en sus abscisas, ya que no han sido alteradas, pero para que la ecuación se siga cumpliendo debe ocurrir que y₁ = 1 / y₀. Por lo tanto, la nueva colección de puntos tiene sus ordenadas en el mismo cuadrante que las originales pero con la ordenada recíproca. El efecto es que aparecen unos puntos invariables ante tal transformación, son los que se encuentran sobre las horizontales y =1 e y =-1. Cada una de las cuales define a su vez dos regiones, dos en el ámbito de y>0, y otras dos en el ámbito de y<0. Es lo que denomino espejito mágico o magic mirror, por su fuerza fonética. Ya que todos los puntos de la región y>1 son enviados a la región 0<y<1, y viceversa, como si se tratara de un espejo que deforma las profundidades, de manera que a la ordenada 2 la envía a 1/2, y a la ordenada 1/3 la envía a 3. A los puntos que denominamos ceros (y=0) se los lleva al infinito, futuras asíntotas, y a los infinitos de la original se los lleva al valor cero. Con los puntos dobles, infinitos (tendencias), y los ceros, más algún que otro auxiliar puede trazarse perfectamente la función en el cuaderno.

Reciprocidad según y

Para encontrar la recíproca de una función y=f(x) te basta escribir en el segundo cuadro de edición 1/y=f(x).

Observa ahora el vector que une puntos homólogos:

· En los puntos dobles no tiene medida.

· En los ceros, su medida se hace infinita.

EJERCICIOS:

10.- Puedes intentar primero hacerlo en tu cuaderno, para poder comprobar la respuesta después en la escena anterior:

y =1/x^2, y = cosec(x), y = 1/(3x^2-1)^2, y = (x^2+1)/x^2 (en esta última se te aconseja que previamente dividas).

9.- Magic mirror con la secuencia de la parábola descendente.

Este apartado sólo pretende enseñar la tremenda fuerza de esta transformación. Nos fijaremos para ello en una secuencia de parábolas descendentes, todo bajo el control a, que nos permite observar, en cada paso, cómo actúa Magic mirror en los ceros , infinitos, puntos dobles …

Secuencia de parábolas

Dando diversos valores del 1 al 7 para el parámetro a, obtenemos la secuencia de parábolas y la de sus recíprocas en turquesa.

10.- Magic Mirror, también respecto de la variable x.

Aquí no hace falta explicar demasiado, dado que mutandis mutandi todo es idéntico sólo que respecto la dirección perpendicular. Ahora los espejitos mágicos serán las rectas verticales x=1 y x=-1. Los puntos de la original se transformarán en otros cuyas abscisas serán las recíprocas de las anteriores. Por tanto los cortes con el eje Oy se tornarán en asíntotas horizontales o puntos infinitos y los puntos da abscisas +1 o -1 serán dobles. El proceso de construcción será idéntico que en el caso anterior.

Edita como siempre en gris la original y en turquesa y=f(1/x).

Acuérdate que el punto P debe apoyarse en la función gris.

EJERCICIOS:

11.- Representa cada gráfica primero en el cuaderno y después con la escena:

a) y = sen(1/x); b) y = (1/x^2)+1 (original y = x^2+1 ) ; c) y=cotan(x); d) y = exp(1/x); e) y =log10(1/x).

	Jordi Vidal Chillida

	Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2007