LA GEOMETRÍA DEL MOVIMIENTO
Geometría en el arte de M.C. Escher

1. LAS TRASLACIONES.
Un movimiento es una transformación de la "posición" de una figura  en el plano. Más específicamente, un movimiento mantiene la forma, el tamaño y las dimensiones (distancias entre puntos y medida de los ángulos) de las figuras. Existen tres clases diferentes de movimientos: la traslación, el giro y la simetría (o reflexión).
1.- Podemos pensar en la traslación como en un desplazamiento de una figura. Piensa en situaciones de la vida real en la que aparezcan traslaciones como, por ejemplo, abrir un cajón o el movimiento de un automóvil por una carretera recta.

2.- Deduce qué elementos determinan una traslación, es decir, qué datos se precisan para conocer la posición final de la figura sabiendo en qué lugar inicial se encuentra.

Un vector es un segmento orientado que determina una dirección, un sentido y una cantidad de desplazamiento.

3.- Deduce cuál será la posición final del triángulo amarillo si se traslada siguiendo las indicaciones del vector rojo y azul.

El parámetro ver (aumentando en una unidad su valor) te permite obtener la figura resultante (llamada homóloga) tras la traslación.
Puedes cambiar las características de la flecha arrastrando el inicio o el extremo final.

4.- Cómo modificará su posición cualquier punto que forme parte de la figura, en nuestro caso el triángulo amarillo, tras la traslación?

Si modificas el parámetro opción (aumentando su valor en una unidad) observarás qué sucede con los tres vértices.

5.- Si conoces las coordenadas del vector guía de la traslación, deduce las ecuaciones que rige la traslación; o de otra forma, si un punto P de coordenadas conocidas (p0, p1), se transforma mediante una traslación de vector guía v de coordenadas conocidas (a,b), cuáles serán las coordenadas del puntos trasladado P' de coordenadas desconocidas (x,y)?


2. GIROS O ROTACIONES
La idea intuitiva de un giro está presente en muchas de nuestras actividades cotidianas: el desplazamiento de unas agujas de un reloj o el de la manecilla de una puerta al abrirse.

6.- Piensa en más situaciones de tu entorno que reproduzcan la idea de giro.

7.- Siguiendo esta idea, deduce las características básicas que determinan un giro.

8.- Observa cómo afecta a una figura (triángulo amarillo) al someterla a un giro.

Para determinar un giro se precisa un centro respecto al que se gira y un ángulo de giro. El punto naranja es el centro del giro y se puede mover arrastrando de él. El ángulo se puede modificar, bien con los pulsadores rojos y azules, bien introduciendo un número y pulsando la tecla Enter

9.- Deduce que en un giro, un punto y su homólogo distan la misma cantidad del centro y si se unen con el centro forma un ángulo igual al de giro.

Cambiando el valor del parámetro opción (aumentándolo en una unidad) se pueden observar los resultados.

3. SIMETRÍAS O REFLEXIÓN
Una simetría de eje la recta e transforma un punto P del plano en otro punto P' del plano, tal que
  1. El segmento PP' es perpendicular a la recta e
  2. La distancia del punto P al eje e es igual a la distancia del punto P' al eje

10.- Deduce cuál será la figura homóloga al triángulo amarillo de la escena.

Para ver la solución aumenta en una unidad el parámetro ver.

11.- Prueba con diferentes ejes.

Si el eje no es vertical puedes cambiarlo introduciendo la pendiente y ordenada en el origen de la recta.
Si deseas un eje vertical pon un 1 en el parámetro recta vertical.
El parámetro k, determina la recta vertical x=k y sólo funciona si recta vertical está activado.

12.- Señala situaciones y hechos físicos que se rigen por simetrías. Fíjate en la disposiciones anatómicas, los edificios...


Enrique Martínez Arcos
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2001

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