3.4. Operaciones con vectores.

A continuación vamos a estudiar las operaciones que se pueden realizar con los vectores en el plano.

Se intentará representar todas ellas en dos escenas, que son las que se muestran a continuación.

En la primera de ellas, escenificaremos la suma y recta de vectores, así como el producto de vectores por escalares. Definiremos qué son las combinaciones lineales de vectores.

En esta primera escena (escena 8) habremos estudiado, pues, las operaciones entre vectores que nos dan de resultado otro vector.

Pues bien en la segunda escena de esta página (escena 9), se desarrollará el producto escalar de vectores que, la gran diferencia entre esta operación y las anteriores es que de resultado obtenemos un escalar.

OBSERVACIÓN IMPORTANTE: El estudio de las operaciones entre vectores se hará sobre los VECTORES LIBRES DEL PLANO: dados dos vectores libres, se escogerán dos representantes de ellos y realizaremos las operaciones entre estos representantes. El resultado será el de el representante del nuevo vector libre.

     SUMA Y RESTA DE VECTORES

Dados dos vectores libres del plano, definiremos suma de estos vectores al vector resultante de unir el origen del primer vector con el extremo del segundo vector, haciendo coincidir previamente el extremo del primer vector con el origen del segundo vector. Gráficamente se puede ver el desarrollo de esta operación: escogeremos un representante del segundo vector libre cuyo origen sea el extremo del representante del primer vector libre. Justo después, se unirá el origen del primer vector con el extremo del segundo vector.

Geométricamente, podemos dibujar un paralelogramo con estos dos vectores, y la suma nos dará la diagonal de dicho paralelogramo.

Dados los vectores u y v, escoge un vector equipolente de v que tenga de origen el extremo de u. Para ello, arrastra el vector v hasta hacer coincidir el origen de éste con el extremo de u. Observa entonces la escena.

Geométricamente vemos cómo se ha construido un paralelogramo (color magenta), donde la diagonal principal nos dará un representante del vector suma (color verde), y la antidiagonal nos dará un representante del vector resta (color rojo).

Gráficamente, consiste en prolongar el vector u a-veces sobre la misma recta sobre la que está el vector v.

Cambia el valor de los parámetros a y b que se encuentran en los controles superiores de la escena, y así se obtendrán nuevos vectores, con misma dirección, pero que varían su módulo. Observa cómo varía el sentido del vector siempre que el parámetro sea un valor negativo.

Por tanto, el producto de un vector por un escalar nos proporciona otro vector con la misma dirección, de módulo, el módulo multiplicado por dicho escalar, y el sentido el mismo ú opuesto, según el signo del escalar.

Si combinamos las dos operaciones anteriores, obtenemos combinaciones lineales de un conjunto de vectores.

Dado un conjunto de vectores V ={u,v,w,s,t,...}, y un conjunto de escalares U = {a,b,c,d,e,...}decimos que una combinación lineal de vectores es toda expresión de la forma: a·u+b·v+c·w+d·s+e·t+... 

Al hacer operaciones, el resultado final, es otro vector del plano.

Se puede ver gráficamente en la escena cómo lo que hacemos es sumar dos nuevos vectores, obtenidos al multiplicarlos previamente por escalares.

Calcula varias combinaciones lineales de los vectores de la escena, variando los valores de a y b.

Escribe en tu cuaderno dichas combinaciones lineales y calcúlalas realizando las operaciones.

A continuación vamos a estudiar una nueva operación entre vectores, distinta a las vistas hasta ahora, ya que, el resultado de esta operación no será un vector, sino un número, un escalar.

Para ello debemos definir un nuevo concepto: ÁNGULO QUE FORMAN DOS VECTORES.

El ángulo que forman dos vectores es el menor de los ángulos que definen las dos rectas sobre las que se encuentran dichos vectores.

Se define Producto escalar de los vectores u y v como el resultado de realizar las operaciones:

  u·v= |u|·|v|·cos(u,v)  donde |u| y |v| indican los módulos de los vectores, y cos(u,v) es el coseno del ángulo que forman los dos vectores.

ESCENA 9

En la siguiente escena se han dibujado dos vectores con el origen en común, y aparece dibujado el ángulo que forman. Sobre el vector AC aparece en rojo la proyección del vector AB.

El producto escalar se obtiene de la multiplicación del módulo del vector AB por el módulo de la proyección de AC sobre éste.

Varía los puntos extremos de los vectores y anota los resultados en tu cuaderno.

Calcula el producto escalar de los vectores que has obtenido y comprueba los resultados con los dados en la escena.