7. Funciones inversas.

Sean las siguientes funciones:

Vamos a calcular la función compuesta de f y g.

Observa que estas dos funciones tienen la particularidad de que al actuar sucesivamente sobre un número x, el número se mantiene, es decir, que lo que hace una lo deshace la otra.

¿Qué ocurrirá si calculamos la función compuesta de g y f?

El resultado es el mismo, no importa el orden en el que se realice la composición de las dos funciones.

Se dice entonces que estas dos funciones son inversas, o que una es inversa de la otra. Si una de las funciones inversas es f(x), la otra se representa por f ^-1(x).

Para que dos funciones f(x) y f ^-1(x) sean inversas se tiene que cumplir la siguiente condición:

Si f(a) = b, entonces f ^-1(b) = a, pues como consecuencia se cumple las condiciones anteriores:

• f ^-1 [ f(x) ] = x

• f [ f ^-1(x) ] = x

Las gráficas de dos funciones inversas son simétricas respecto a la recta y = x y por lo tanto se cortan en ella.

En esta escena puedes ver las gráficas de las funciones anteriores f(x) y f ^-1(x). 

Observa que son simétricas respecto a la recta y = x.

Para hallar la función inversa de y = f(x) se procede de la siguiente forma:

1. En la función y = f(x), se intercambian la x y la y, es decir donde aparece x ponemos y, y donde aparece y ponemos x.

2. En la expresión obtenida se despeja la y, resultando la función f ^-1(x).

Veamos un ejemplo. Sea y = f(x) = 5x -7, calcula la función inversa.

y = 5x - 7 => x = 5y - 7 => y = (x + 7)/5, luego f ^-1(x) = (x + 7)/5.

Veamos otro ejemplo. Calcula la función inversa de y = 2x. Evidentemente es f ^-1(x) = x/2. Utiliza la escena anterior, introduce las fórmulas de ambas funciones en los correspondientes cuadros de edición, pulsa la tecla "Intro" y comprueba su simetría respecto a la recta y = x.

I.E.S. Alcaria. La Puebla del Río (SEVILLA)