FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS. DEFINICIÓN Y EJEMPLOS
Análisis
 
1. DEFINICIÓN INFORMAL
Una función definida a trozos es aquella cuya expresión analítica contiene más de una fórmula: para distintos valores de la variable independiente "x" se deben usar distintas fórmulas que permitan calcular la imagen "y" que les corresponde.

Es imprescindible conocer qué formula usar con cada valor de "x", por lo que cada una de las fórmulas se acompaña obligatoriamente de una condición que especifica su dominio de aplicación. Así, la expresión analítica general de una función definida a trozos tiene el siguiente aspecto:

     , donde los dominios suelen aparecer como intervalos o puntos.

En la gráfica de una función definida a trozos se suelen distinguir claramente varias partes distintas, aunque pueden estar unidas.

Ejemplo 1

A la izquierda aparece la fórmula de una función definida en tres trozos y su gráfica. Se han coloreado los dominios de aplicación de cada fórmula y sus intervalos correspondientes.

Puedes mover los puntos de colores, o escribir el valor de su posición en el eje X  en los controles y pulsar la tecla Intro .

1.- Modifica la posición de los puntos y observa cómo cambian las fórmulas y los intervalos de aplicación. ¿Cuál es el dominio general de la función? ¿Qué forma tiene la gráfica de cada trozo? Comprueba qué pasa si B.x=0 .

2.- Comprueba que el trozo izquierdo puede separarse o unirse al resto de la gráfica. ¿Para qué valor de B.x puede conseguirse una unión suave, sin ángulos?

3.- ¿Qué criterio crees que se ha seguido para distinguir gráficamente si los extremos de cada trozo pertenecen al dominio de la función o no? 
(Este criterio es estándar.)
2. EJEMPLOS REALES
El ejemplo anterior, y la mayoría de los que aparecerán en las clases de matemáticas, está artificialmente preparado para que se distingan claramente los aspectos que interesan. Pero el que una función esté definida a trozos puede responder a un proceso natural o social perfectamente.

De hecho, lo habitual es que en  cualquier proceso ocurran cambios que obliguen a cambiar de fórmulas en determinados momentos para poder describirlos. (Por ejemplo, cuando nos movemos no llevamos una velocidad constante: aceleramos, mantenemos la velocidad, frenamos.... El espacio recorrido en función del tiempo debe ser calculado con fórmulas diferentes en cada intervalo).

Ejemplo 2

Tenemos aquí la descripción gráfica del aumento en el tiempo de la temperatura de una sustancia a la que se aplica una fuente de calor  constante.

Al pulsar "animar" se generan dos gráficas que corresponden a dos sustancias diferentes: agua y benceno. El eje X se ha contraído para poder contemplar la gráfica completa, pero puedes modificar el factor de contracción y seguir la gráfica moviendo el eje X.

4.- Cada sustancia distinta tiene su correspondiente gráfica. ¿Cuál de las gráficas crees que pertenece al benceno, y por qué?

5.- Escribe la expresión analítica de la función que corresponde a cada gráfica. ¿Qué crees que representan los valores constantes de las funciones? ( También tienen una interpretación física la longitud de los intevalos constantes, y las inversas de las pendientes de los segmentos oblicuos).

Ejemplo 3

El precio de lo que compramos responde más a una función definida a trozos que a una función continua. A la izquierda se observan las tarifas de un envío de paquete por Correos (en 2008) dependiendo del peso del paquete, el origen y el destino.

Puedes usar los pulsadores para cambiar el origen y el destino.

6.- ¿Qué razones puede haber para que la gráfica de esta función no sea continua?

7.- Observa las gráficas y comprueba que en Canarias, Ceuta y Melilla es más barato enviar paquetes al resto de España que localmente.

8.- Escribe la expresión analítica de la función que expresa el coste del transporte desde Canarias a la Península.

9.- ¿Cuánto cuesta transportar un paquete de 12 kg dentro de la península?
 
  José Bosch Betancor
 
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2008