Función cuadrática

	FUNCIÓN DIRECTA, RECÍPROCA E INVERSA
	Análisis

1. LA FUNCIÓN CUADRÁTICA y = ax² + bx + c

una función cuadrática es de la forma y = ax² + bx + c donde a, b y c son los coeficientes de la función, x es el valor que cambia e y los valores de la función.

y = ax² + bx + c

Con los pulsadores a, b, c puedes cambiar los coeficientes de la función cuadrática. Con el pulsador x cambias la abscisa del punto P de la curva. Las coordenadas del vértice V(h,k) también aparecen representadas y se pueden calcular analíticamente con las fórmulas h = -b/2a y k = (4ac-b²)/4a.

1.- La función inicial es y=x². Pulsa el control del coeficiente a y observa el resultado.

2. Con el valor inicial a = 1, modifica el valor de b y observa como cambian las coordendas del vértice V.

3.- A partir de la función y=x² + 2 x pulsa el control del coeficiente c y observa el resultado.

4. La función cuadrática se puede expresar en la forma y = a(x-h)² + k tal como viene reflejada a la izquierda de la gráfica. Modifica los valores de los coeficientes para que el vértice de la parábola esté situado en cada uno de los cuadrantes. Observa como es la expresión anterior.

5.- Representa en el cuaderno las funciones siguientes:

a=2, b=0, c=-1	a=0.2, b=-1, c=1.5
y=2x² - x	y=0.5x² + 2x - 3
y=4(x+1)²-2	y=1/4(x-5)²-2

La representación gráfica de esta función es una parábola vertical,
que tiene mínimo por tener el valor de a>0. Las coordenadas del
vértice V(h,k) permiten escribir la función cuadrática como y=a(x-h)²+k.

2. LA FUNCIÓN RECÍPROCA x = ay² + by + c

la función recíproca es de la forma x = ay² + by + c, en este caso y es el valor que cambia y x los valores de la función. La gráfica es una parábola de eje horizontal y el vértice es el punto V'(k,h) y eje la recta y = h.

x = ay² + by + c

Los pulsadores a, b, c cambian los coeficientes y con el pulsador x se cambia la abscisa del punto P de la curva. Se representan las dos funciones directa y recíproca. Se unen los puntos de las dos gráficas que son simétricos respecto de la bisectriz y = x

6.- La función inicial es y=x² + 2 x + 2. Pulsa el control de la abscisa x y observa el movimiento del punto P y de su recíproco P'.

7. Modifica los valores iniciales a = 1, b = 2, c = 2 y observa como cambian las gráficas de las funciones directa y recíproca.

8. La función cuadrática y = a(x-h)² + k tiene como recíproca x = a(y-h)² + k tal como viene reflejada a la izquierda de la gráfica. Modifica los valores de los coeficientes para que el vértice de la parábola directa esté situado en cada uno de los cuadrantes. Observa como cambia la función recíproca.

9. La parábola x = a(y-h)² + k tiene dos versiones si despejamos la variable y en función de x. Una primera versión es y₁ = +[(x-k)/a]^0.5 + h, la otra versión es y₂ = -[(x-k)/a]^0.5 + h. + para la parte superior que está por encima del eje y - para la parte inferior. Busca estas expresiones para las funciones recíprocas de las funciones dadas en la actividad 5 de la escena anterior.

10.- Representa en el cuaderno las gráficas de las funciones recíprocas halladas en la actividad anterior.

La representación gráfica de la función recíproca es una parábola horizontal,
abierta hacia la derecha ya que a>0. Las coordenadas del vértice V(k,h)
permiten escribir la función recíproca y=+-[(x-k)/a]^0.5+h.

3. LA FUNCIÓN INVERSA y = 1/(ax² + bx + c)

la función inversa es de la forma y = 1/(ax² + bx + c) cuya gráfica es una curva que tiene un máximo en el punto M(h,1/k) y es continua si la parábola no corta al eje OX. Si la parábola corta al eje OX en x = x₁ y x = x₂, la gráfica tiene dos asíntotas verticales x = x₁ , x = x₂.

y = 1/(ax² + bx + c)

Los pulsadores a, b, c y P funcionan como en las escenas anteriores. Se representan las dos funciones directa e inversa. Se unen los puntos de las dos gráficas que tienen la misma abscisa x .

11.- La función inicial es y=x² + 2 x + 3 = (x + 1)² + 2 que no corta al eje OX. Pulsa el control de la c y observa el movimiento de las dos gráficas. ¿Para qué valor mínimo de c la gráfica de la función inversa no es continua? ¿Para qué valor de c coinciden los puntos singulares de ambas funciones?

12. Modifica los valores iniciales a = 1, b = 2, c = 3 y observa como cambian las gráficas de las funciones directa e inversa.

13. La función cuadrática y = a(x-h)² + k tiene como inversa y = 1/(a(x-h)² + k). ¿Por qué tiene la función inversa un máximo en el punto M(h,1/k)? Razona la respuesta.

14. Estudia las funciones inversas de las funciones cuadráticas estudiadas en la actividad 5.

15.- Representa en el cuaderno las gráficas de las funciones inversas halladas en la actividad anterior.

La representación gráfica de la función inversa es una curva continua si la
parábola no corta al eje OX. Si corta al eje OX la curva presenta asíntotas
verticales en los puntos de corte. Siempre tiene un máximo en el punto M(h,1/k).

	Joaquín Aguilar Barriuso

	Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2008