RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
Razones trigonométricas de un ángulo agudo
Dado un triángulo rectángulo, llamaremos razones trigonométricas de cualquiera de sus ángulos agudos al seno, al coseno y a la tangente. Las definiremos del siguiente modo:
1.- Desplaza el punto A a lo largo del eje OX manteniendo un mismo valor del ángulo α.
¿Cómo son entre sí los diferentes triángulos que has ido obteniendo?
¿Cómo han ido cambiando los valores de las razones trigonométricas?
¿Qué importante teorema de la Geometría justifica este hecho?
2.- En esta actividad vas a averiguar si las razones trigonométricas son proporcionales a los ángulos. Para ello te proponemos que mantengas el punto A en la posición inicial, fijes los decimales a cero, d = 0, y vayas cambiando el ángulo α. Para recoger los valores de las razones trigonométricas dibuja en tu cuaderno una tabla como la que se muestra a continuación.
| α | 20º | 40º | 60º | 80º |
| sen α | ||||
| cos α | ||||
| tan α |
Indica si son ciertas las siguientes igualdades:
sen(2α) = 2 sen α
cos(3α) = 3 cos α
tan(4α) = 4 tan α
3.- En esta actividad se pretende que averigües el rango de valores que puede tomar cada razón trigonométrica. Para ello observa los valores de la tabla anterior y el cuadro de definiciones que figura al principio de la página. Calcula, si es necesario, las razones de otros ángulos hasta donde te lo permita la escena. A continuación completa las afirmaciones siguientes y anótalas en tu cuaderno:
El seno de un ángulo agudo es una cantidad comprendida entre . . . y . . .
El coseno de un ángulo agudo es una cantidad comprendida entre . . . y . . .
La tangente de un ángulo agudo es una cantidad comprendida entre . . . y . . .
Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera
Hemos definido las razones trigonométricas sólo para los ángulos agudos de los triángulos rectángulos. Si queremos extender las definiciones a cualquier ángulo habremos de "salir del triángulo rectángulo".
Hemos visto también que las razones trigonométricas de un ángulo no dependen del tamaño del triángulo en que lo situemos. En particular podemos tomar un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mida 1. En ese caso el cateto opuesto será igual al seno y el cateto contiguo al coseno.
Si la hipotenusa es igual a 1, la longitud del cateto opuesto será igual al seno del ángulo.
Si la hipotenusa es igual a 1, la longitud del cateto contiguo será igual al coseno del ángulo.
A continuación definiremos la circunferencia goniométrica (también llamada trigonométrica) como la centrada en el origen de coordenadas y de radio igual a 1.
Tomaremos el semieje positivo de las abscisas como origen de ángulos (los empezaremos a medir a partir de él).
Tomaremos como positivos los ángulos medidos en sentido contrario al de las agujas del reloj.
En estas condiciones situaremos nuestro triángulo rectángulo de hipotenusa unidad en el primer cuadrante, con lo cual:
La hipotenusa será el radio de la circunferencia al cual corresponderá un punto (x, y) sobre ella.
Dicho radio delimitará el ángulo α cuyas razones queremos "redefinir".
La abscisa de dicho punto será el cateto contiguo al ángulo, y por lo tanto será igual a su coseno, es decir, cos α = x
La ordenada de dicho punto será el cateto opuesto al ángulo, y por lo tanto será igual a su seno, es decir, sen α = y
Mientras estemos en el primer cuadrante tendremos las razones trigonométricas de un ángulo agudo, pero podemos ampliar la definición del siguiente modo:
En las condiciones establecidas para el origen y sentido de los ángulos,
x = cos α y = sen α
Tomaremos esta relación como ampliación de la definición de las razones trigonométricas a cualquier ángulo.
4.- En esta actividad se pretende que averigües el rango de valores que puede tomar cada razón trigonométrica en un ángulo cualquiera. Para ello observa como varía cada una de ellas a medida que vas modificando los valores de α. A continuación completa las afirmaciones siguientes y anótalas en tu cuaderno:
El seno de un ángulo es una cantidad comprendida entre . . . y . . .
El coseno de un ángulo es una cantidad comprendida entre . . . y . . .
La tangente de un ángulo es una cantidad comprendida entre . . . y . . .
Ángulos simétricos
Observa que para cada ángulo agudo α, siempre podrás encontrar otros tres menores de 360º que tengan en valor absoluto las mismas razones trigonométricas que α. Diremos que estos cuatro ángulos son simétricos: α, 180º - α, 180º + α y 360º - α.
5.- Completa la tabla de modo que en cada fila haya los cuatro ángulos simétricos correspondientes.
| 1er. cuadrante | 2do. cuadrante | 3er. cuadrante | 4to. cuadrante |
| 25º | |||
| 320º | |||
| 215º | |||
| 123º |
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