DERIVADA
Introducción
Fundamento
Queremos hallar una herramienta de cálculo que nos permita determinar el ritmo de crecimiento de una función en un punto x = a.
Desde un punto de vista geométrico, nuestro objetivo es averiguar la inclinación de la curva en el punto A(a, f(a)).
Para ello seguiremos los siguientes pasos:
1.- A partir del punto x = a nos desplazaremos sobre la curva hasta un punto próximo x.
2.- A continuación, para comparar el desplazamiento vertical, esto es, Δy = f(x) — f(a), con el horizontal, Δx = x — a, calcularemos la razón entre ambas cantidades. Este resultado será lo que llamaremos cociente incremental, o tasa de variación. Se suele escribir de diferentes maneras:
Observa en la escena el significado de los elementos del cociente incremental:
el numerador es la altura de un triángulo rectángulo, y el denominador su base
Por lo tanto, el cociente incremental será la tangente del ángulo ß de inclinación sobre la horizontal de la recta secante a la curva. Es decir, indicará el valor de la pendiente de dicha recta. (Los puntos de la curva A(a, f(a)) y P(x, f(x)) son los vértices que determinan la hipotenusa de dicho triángulo).
El cociente incremental es igual a la pendiente de la recta secante.
Actividades:
a) Manteniendo fijo el incremento Δx, y desplazando con el ratón el punto A sobre la curva, encuentra, si existen, parejas de puntos A y B de la gráfica, de modo que la recta secante tenga la pendiente indicada en cada caso. Copia en tu cuaderno una tabla como la mostrada a continuación, y recoge en ella los resultados obtenidos.
| Pendiente | 1'5 | 1 | 0'5 | 0 | —0'05 | —1 |
| Punto A | ||||||
| Punto B |
b) Manteniendo fijo el punto A en su posición de inicio y variando Δx encuentra, si es posible, un punto B de la curva para el cual la recta secante tenga la pendiente indicada en cada caso. Dibuja en tu cuaderno otra tabla para recoger los resultados.
| Pendiente | 1'5 | 1 | 0'6 | 0'4 | 0 | —1 |
| Δx | ||||||
| Punto B |
¿En cuál de los casos crees que hemos estado "más cerca" de averiguar la inclinación de la curva en el punto A?
¿Crees que es suficiente ese nivel de "acercamiento" para conocer la inclinación de la curva en el punto A, o por el contrario podríamos hacer algo más por determinar dicha inclinación exactamente?
¿Has observado algo raro?
3.-En este punto estudiaremos la "tendencia" de los diferentes conceptos que intervienen en el proceso, a medida que el incremento Δx se aproxima cada vez más a cero, es decir, Δx ─> 0
- la posición del punto B con respecto al punto A
- la posición de la recta secante con respecto a la curva
- el desplazamiento vertical Δy
- la pendiente de la recta secante
a) Vuelve a mantener fijo el punto A en su posición de inicio y cambia Δx según los valores indicados. Anota en cada caso el valor del incremento vertical Δy así como el de la pendiente de la recta secante.
| Δx | 1 | 0'5 | 0'1 | 0'05 | 0'02 | 0'01 |
| Δy | ||||||
| Pendiente |
Responde en tu cuaderno las siguientes preguntas:
A medida que el incremento horizontal Δx se aproxima a cero . . .
¿Cómo varía la posición del punto B con respecto al punto A?
¿Cómo evoluciona la posición relativa de la recta secante AB con respecto a la curva?
¿Hacia qué valor parece tender el incremento vertical Δy?
¿Hacia qué expresión parece evolucionar el cociente incremental?
¿Qué concepto matemático crees más adecuado para describir estas "tendencias"?
Actividades:
a) Calcula gràficamente la derivada de la función que interviene en la escena en cada uno de los puntos indicados. Dibuja una tabla como la siguiente en tu cuaderno y recoge en ella toda la información. Para medir las longitudes │AC│ y │BC│usa la cuadrícula (cuenta cuadros) en vez de las coordenadas de los puntos. En la última columna especifica el tipo de crecimiento de la curva en el punto estudiado. Si en algún caso es necesario, cambia │AC│. Una vez calculada cada derivada comprueba tu resultado activando la casilla "Solución".
| x | y = f(x) | │BC│ | │AC│ | f '(x) | C/D |
| —2 | |||||
| —1'5 | |||||
| —1 | |||||
| —0'5 | |||||
| 0 | |||||
| 0'5 | |||||
| 1 | |||||
| 1'5 | |||||
| 2 |
 |
|
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