Una funció quadràtica és aquella que es defineix en forma explícita mitjançant un polinomi de segon grau:

amb , on a, b i c són nombres reals.

Com sabem, el nombre de punts d'intersecció d'una funció quadràtica amb l'eix d'abscisses, pot ser 0, 1 o 2, depenent del nombre de solucions reals de l'equació . Les solucions d'aquesta equació són les abscisses d'aquests punts d'intersecció. Es denominen zeros o arrels de la funció.

En l'escena adjunta es mostra la gràfica de la funció f(x)=ax²+bx+c. Modifica els valors dels paràmetres a, b i c, i observa els canvis que es produeixen en el nombre i valor de las arrels de la funció.

Els casos b = 0 i c = 0 són els més senzills d'interpretar: Si b = 0, tenim f(x) = ax2 + c; si c = 0, tenim f(x) = ax2 + bx

1.1.- Representa successivament en l'escena tres funcions diferents, amb c = 0. Escriu les funcions en el teu quadern de treball i comprova que les arrels que mostra l'escena són efectivament les solucions de l'equació ax²+bx=0.

1.2.- Amb c = 0, és posible trobar situacions amb una sola arrel? Quines? Per què? I sense cap arrel? Redacta les conclusions en el teu quadern.

1.3.- Representa successivament en l'escena tres funcions diferents, amb b = 0. Escriu les funcions en el teu quadern de treball y comprova que les arrels que mostra l'escena són efectivament les solucions de l'equació ax²+c=0.

1.4.- Amb b = 0, és posible trobar situacions amb una sola arrel? Quines? Per què? I sense cap arrel? Redacta les conclusions en el teu quadern.

En general, una funció polinòmica de grau n pot tenir un nombre d'arrels reals que, com a màxim pot arribar a ser igual a n. La següent escena t'ajudarà a visualitzar aquesta propietat mijançant diferents exemples.

Inicialment es mostra la gràfica de la funció f(x)=0.5x³+2.5x²+3x. Observa la informació que ofereixen els textos de l'escena i mou el punt que apareix sobre l'origen de coordenades: podràs situar-lo sobre els altres punts d'intersecció de la gràfica amb l'eix d'abscisses, per a visualitzar el valor de cada una de les arrels de la funció.

Podràs estudiar altres exemples variant el valor del paràmetre "Cas" situat en la part inferior de l'escena.

Fixa't especialment en els tres primers exemples: es presenten successivament casos de funcions polinòmiques de grau 3 amb 3, 2 i 1 solucions reals, respectivament.

2.1.- Resol de manera algebraica les equacions 0.5x³+2.5x²+3x=0; 0.25(-x³+x²+5x+3)=0; 0.2(x³-3x²+3x-1)=0, i comprova en cada cas que les solucions coincideixen amb les arrels que mostra l'escena. Anota el procés i les conclusions en el teu quadern i fes el mateix amb els exercicis següents.

2.2.- Entre els exemples de grau 4 que mostra l'escena no n'hi ha cap amb 3 arrels reals. Posa tu un exemple per a eixe cas.

2.3.- Els últims dos exemples són de grau 6, amb 3 i 6 arrels reals, respectivament. Posa tu dos exemples més: el primer amb una sola arrel, i el segon sense arrels reals.

2.4.- Les funcions polinòmiques de grau parell poden no tenir arrels reals. Investiga què ocorre amb les de grau imparell.

Hem vist en els apartats anteriors que una funció polinòmica pot tenir tantes arrels reals com indique el seu grau. I sabem també que el nombre d'arrels reals pot ser inferior al grau de la funció. Així, per exemple, una funció polinòmica de segon grau pot tenir 0, 1 o 2 arrels reals; i una de tercer grau pot tenir-ne 1, 2 o 3.

Coneguts el grau i les arrels reals, podrem trobar infinites funcions polinòmiques de la forma

on e₁, e₂, ..., e_n són exponents que indiquen el grau de multiplicitat de les arrels; x₁, x₂, ..., x_n són les n arrels diferents de la funció; i k indica un nombre real qualsevol.

Realitza la següent activitat tenint en compte el que acabem de veure. Intenta trobar solució per a tots els casos possibles i, fins i tot, solucions diferents per a un mateix cas.

En el quadre d'edició inferior apareix inicialment l'expressió y=f(x). Substitueix f(x) per una expressió polinòmica del grau que s'indica, de forma que tinga les arrels que apareixen representades. En prémer la tecla Enter, podràs veure la gràfica de la funció i comprovar si compleix les condicions imposades.

Probablement et resultarà útil emprar les coordenades genèriques de les arrels: es designen amb les expressions A.x, B.x i C.x.

Una vegada realitzada l'activitat, redacta les conclusions en el teu quadern i escriu dos exemples diferents per a cada un dels següents casos:

3.1.- Funció polinòmica de segon grau amb:

        a) Dues arrels: -2 i 3        b) Una arrel: 5        c) Cap arrel real

3.2.- Funció polinòmica de tercer grau amb:

        a) Tres arrels: , 0 i         b) Dues arrels: -3 i 2        c) Una sola arrel: -1

3.3.- Funció polinòmica de grau 4 amb:

        a) Quatre arrels: -2, -1, 2 i 4    b) Tres arrels: -1, 0 i 1    c) Dues arrels: 3 i 5    d) Una arrel: 1    e) Cap arrel real