VECTORES-2
2º
de Bachillerato de CNST (Geometría)
Operaciones
con vectores libres.
| 1-
Suma de vectores libres. En la escena siguiente hay dos
vectores dibujados, el vector u en rojo y el vector v en azul. Puedes cambiar si quieres sus
coordenadas con los controles inferiores. También
aparece inicialmente el texto en blanco correspondiente a
la suma de ambos. |
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Como no podía ser de otra manera, las
coordenadas del vector suma se calculan sumando
las de los vectores u
y v. ¿Pero cómo se traduce al
espacio esta suma? Si
recordamos lo de la idea de movimiento, la suma de dos
vectores deberá coincidir con el resultado del
movimiento relativo a uno de ellos seguido del movimiento
relativo al otro. Así es. podrás verlo si pulsas en el
control superior "suma".
Al pulsar, aparecen
"copias" de los vectores u y v a continuación de los extremos de v y u, formando un paralelogramo, cuya diagonal
es el vector suma u+v.
Diríamos:
"Efectuar el
movimiento u
más el movimiento v
nos da como resultado el movimiento u+v"
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| 2-
Producto de un vector libre por un número real
(escalar). En
la escena siguiente tenemos inicialmente un vector u en rojo, junto con sus
coordenadas, que se pueden cambiar con los controles
inferiores. También tenemos un escalar (número
real) t, que es el que se va a multiplicar por el vector u. |
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Mueve la escena para verla bien desde
distintos puntos de vista. Las coordenadas del vector t*u se calculan multiplicando
las del vector u
por t.
En el espacio, esto
significa que el vector u se "estira" lo que
"diga" t. Si t = 2, se duplica. Si t = 0, se
anula. Si t = -1, cambia de sentido.
Para comprobarlo, cambia
el control producto a "1", y varía a
discreción el escalar "t".
Observarás que u y t*u comparten siempre la
misma dirección, pero si t es negativo, tienen sentidos
opuestos.
Cambia y mueve la escena hasta que comprendas todo
bien.
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3-
Propiedades. Espacio vectorial R3.
La suma de vectores tiene las siguientes propiedades (en lo
que sigue, "u", "v" y "w" son
vectores y "t" y "s" son números:
- propiedad asociativa, (u + v) + w = u + (v + w)
- existencia de elemento neutro, que es el vector nulo
(0,0,0),
- para cada vector u(x,y,z) existencia de su elemento
opuesto -u(-x,-y,-z)
- propiedad conmutativa, u + v = v + u
El producto de vectores por números (escalares) tiene las
siguientes propiedades:
- propiedad distributiva con respecto a la suma de
vectores, t·(u + v) = t·u + t·v
- propiedad distributiva con respecto a la suma de
escalares (t + s)·u = t·u + s·u
- propiedad asociativa mixta: t·(s·u) =
(t·s)·u
- El escalar "1" también es elemento neutro para
este producto, 1·u = u
Puedes verificar cada una de ellas con ayuda de las escenas
anteriores o sobre tus apuntes, pues no son difíciles.
Por cumplir estas ocho propiedades, el conjunto de vectores
libres junto con las operaciones suma de vectores y producto de
vectores por escalares forma la estructura de espacio vectorial
de los vectores libres de R3 .
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Matías
Pérez García |
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Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año
2003 |
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